Dimostrazione | sin(x) | < |x|
Salve a tutti,
ho trovato come "scontata" la disequazione \(\displaystyle | \sin(x) | \leq | x | \) ma non riesco a dimostrarla o capirla.
Mi blocco al confronto tra la variabile x e \(\displaystyle \sin(x) \) per ottenere una disequazione.
Ho provato a partire dall'intervallo \(\displaystyle [0,\pi/2] \) dove la funzione seno è crescente e positiva ma niente.
qualcuno ha suggerimenti o link a riguardo ?
ho trovato come "scontata" la disequazione \(\displaystyle | \sin(x) | \leq | x | \) ma non riesco a dimostrarla o capirla.
Mi blocco al confronto tra la variabile x e \(\displaystyle \sin(x) \) per ottenere una disequazione.
Ho provato a partire dall'intervallo \(\displaystyle [0,\pi/2] \) dove la funzione seno è crescente e positiva ma niente.
qualcuno ha suggerimenti o link a riguardo ?
Risposte
Qui nel forum è già stata "dimostrata" varie volte ... una dimostrazione geometrica è quella che usa la circonferenza goniometrica e dato un angolo, il rapporto "visivo" tra arco e seno di quell'arco ...
Tipo per $xgeq0$
$costhetaleq1 => int_(0)^(x)cos(theta) d thetaleq int_(0)^(x) 1 d theta$
quindi $sinxleqx$ per ogni $xgeq0$.
poi la funzione $sin(x)$ è una funzione dispari quindi per $x<0$
L'ho improvvisata, ma dovrebbe essere corretta
(però sto barando
)
$costhetaleq1 => int_(0)^(x)cos(theta) d thetaleq int_(0)^(x) 1 d theta$
quindi $sinxleqx$ per ogni $xgeq0$.
poi la funzione $sin(x)$ è una funzione dispari quindi per $x<0$
$-sinx=sin(-x)leq-x$ con $-x>0$ da cui $sinxgeqx$ per $x<0$
L'ho improvvisata, ma dovrebbe essere corretta
(però sto barando
)
"axpgn":
Qui nel forum è già stata "dimostrata" varie volte ... una dimostrazione geometrica è quella che usa la circonferenza goniometrica e dato un angolo, il rapporto "visivo" tra arco e seno di quell'arco ...
Mi scuso se non sono riuscito a trovarla...
Grazie per il suggerimento, si con la circonferenza goniometrica è molto chiaro.
Grazie
"anto_zoolander":
Tipo per $xgeq0$
$costhetaleq1 => int_(0)^(x)cos(theta) d thetaleq int_(0)^(x) 1 d theta$
quindi $sinxleqx$ per ogni $xgeq0$.
poi la funzione $sin(x)$ è una funzione dispari quindi per $x<0$
$-sinx=sin(-x)leq-x$ con $-x>0$ da cui $sinxgeqx$ per $x<0$
L'ho improvvisata, ma dovrebbe essere corretta
(però sto barando
Menomale l'hai improvvisata...
Ti ringrazio davvero, non avrei mai pensato di usare gli integrali per la dimostrazione !!!
@anto_zoo: la dimostrazione di cui sopra è davvero graziosissima, contavo di riciclarla 
ma mi è sovvenuto un dubbio.
Si basa sul fatto ovvio che: $" "d/(dx)sin x= cos x" "$; ora, nel calcolo della derivata del seno si fa inevitabile riferimento al limite notevole:
il quale a me risulta si dimostri col teorema del confronto sfruttando il fatto che .... $|sinx|<=|x|" "$.
Esiste un modo per dimostrare quel limite notevole che non faccia leva sul fatto che la corda ha lunghezza non superiore all'arco? Oppure: esiste un modo di calcolare la derivata del seno che prescinda da quel limite notevole?
ma mi è sovvenuto un dubbio.Si basa sul fatto ovvio che: $" "d/(dx)sin x= cos x" "$; ora, nel calcolo della derivata del seno si fa inevitabile riferimento al limite notevole:
$" "lim_(x to 0) (sinx)/x=1" "$,
il quale a me risulta si dimostri col teorema del confronto sfruttando il fatto che .... $|sinx|<=|x|" "$.
Esiste un modo per dimostrare quel limite notevole che non faccia leva sul fatto che la corda ha lunghezza non superiore all'arco? Oppure: esiste un modo di calcolare la derivata del seno che prescinda da quel limite notevole?
Per trovare che la corda è minore dell'arco basterebbe utilizzare il risultato che la distanza minima fra due punti è il segmento che li unisce; ma come si dimostra questo fatto? Non credo che si basi su qualche proprietà di $sin x$...
@Palliit
Infatti ho scritto proprio per questo ‘ho barato’ perché è una specie di cane che si morde la coda 
mi piaceva troppo però per non metterla
Mi ero ripromesso comunque di renderle giustizia perché comunque dopo averla scritta mi è piaciuta parecchio
Infatti ho scritto proprio per questo ‘ho barato
’ perché è una specie di cane che si morde la coda mi piaceva troppo però per non metterla Mi ero ripromesso comunque di renderle giustizia perché comunque dopo averla scritta mi è piaciuta parecchio
Metto in spoiler perché non è argomento da scuole superiori.
"Palliit":
... Esiste un modo per dimostrare quel limite notevole che non faccia leva sul fatto che la corda ha lunghezza non superiore all'arco? Oppure: esiste un modo di calcolare la derivata del seno che prescinda da quel limite notevole?
@mathita
[ot]secondo me non risolve lo stesso il problema perché poi gira e rigira i coefficienti te li trovi con le derivate[/ot]
[ot]secondo me non risolve lo stesso il problema perché poi gira e rigira i coefficienti te li trovi con le derivate[/ot]
"anto_zoolander":
una specie di cane che si morde la coda
Bella immagine.
"Mathita":
Questo approccio è tipico delle università tedesche, nelle quali si (ri)definiscono le funzioni elementari a partire dalle serie di potenze associate.
Un'idea è questa: scordarsi definitivamente della natura geometrica delle funzioni goniometriche e non parlare più di angoli.
@indrjo
[ot]non riesco mai a capire se ironizzi o sei serio[/ot]
[ot]non riesco mai a capire se ironizzi o sei serio
[/ot]
@anto_zoo: in realtà se uno le definisce in quel modo le derivate ne conseguono e quindi ce ne si può allegramente infischiare.
Il problema è che qualunque persona ragionevole davanti a quella definizione delle funzioni circolari si chiederebbe "perché sono definite proprio in quel modo?". In realtà è un problema suo, aveva solo da non nascere ragionevole.
Il problema è che qualunque persona ragionevole davanti a quella definizione delle funzioni circolari si chiederebbe "perché sono definite proprio in quel modo?". In realtà è un problema suo, aveva solo da non nascere ragionevole.
@ Indrjo Dedej
[ot]Personalmente lo ritengo un approccio limitante, ma chi sono io per giudicare?, tra l'altro, partendo dalle serie di potenze è possibile ricostruire le proprietà notevoli di seno e coseno, al solo costo di fare un po' (un bel po') di calcoli.[/ot]
[ot]Personalmente lo ritengo un approccio limitante, ma chi sono io per giudicare?
, tra l'altro, partendo dalle serie di potenze è possibile ricostruire le proprietà notevoli di seno e coseno, al solo costo di fare un po' (un bel po') di calcoli.[/ot]
@palliit
Allora ottimo, la dimostrazioncina è salva ed emancipata
Allora ottimo, la dimostrazioncina è salva ed emancipata
[ot]@anto, sono sempre serio. Quando non lo sono così tanto ci metto delle faccine.[/ot]
Comunque penso che tutti concordiamo che
$|sin(x)|<=|x|$
diversamente da quanto afferma l'enunciato.
$|sin(x)|<=|x|$
diversamente da quanto afferma l'enunciato.
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