Dimostrazione similitudine triangoli
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un aiuto per questa dimostrazione che mi è stata assegnata per le vacanze.
Considera nel triangolo ABC le altezze AD e BE. Dopo aver dimostrato che il triangolo è simile al triangolo CED deduci che il rettangolo di dimensioni ED, AC è equiesteso a quello di dimensioni CD, AB. (Suggerimento: il quadrilatero ABDE è ...)
Ho aggiunto l'immagine del triangolo se puà esservi d'aiuto
Grazie mille anticipatamente per le risposte!
Considera nel triangolo ABC le altezze AD e BE. Dopo aver dimostrato che il triangolo è simile al triangolo CED deduci che il rettangolo di dimensioni ED, AC è equiesteso a quello di dimensioni CD, AB. (Suggerimento: il quadrilatero ABDE è ...)
Ho aggiunto l'immagine del triangolo se puà esservi d'aiuto
Grazie mille anticipatamente per le risposte!
Risposte
Completo il suggerimento: il quadrilatero ABDE è inscrivibile nella circonferenza di diametro AB.
Ti lascio il compito di dimostrare che i triangoli AEM (M punto di intersezione delle altezze) e BDM, così come ABM con EDM e le considerazioni sugli angoli che seguono. Pongo $alpha =B hat A D=B hat E D$, $beta= A hat B E=A hat D E$ e $gamma=E hat B D=E hat A D$. Avrò
$alpha + beta+gamma=pi/2$ e
$alpha +C hat E D=pi/2$
da cui $C hat E D= beta +gamma=A hat B C$. Analogamente dimostro che $C hat A B= C hat D E$: i triangoli ABC e CED sono simili per il primo criterio di similitudine. Dalla similitudine deduci $ED:CD=AB:AC$ e hai finito.
$alpha + beta+gamma=pi/2$ e
$alpha +C hat E D=pi/2$
da cui $C hat E D= beta +gamma=A hat B C$. Analogamente dimostro che $C hat A B= C hat D E$: i triangoli ABC e CED sono simili per il primo criterio di similitudine. Dalla similitudine deduci $ED:CD=AB:AC$ e hai finito.
"Indrjo Dedej":
Ti lascio il compito di dimostrare che i triangoli AEM (M punto di intersezione delle altezze) e BDM, così come ABM con EDM e le considerazioni sugli angoli che seguono. Pongo $alpha =B hat A D=B hat E D$, $beta= A hat B E=A hat D E$ e $gamma=E hat B D=E hat A D$. Avrò
$alpha + beta+gamma=pi/2$ e
$alpha +C hat E D=pi/2$
da cui $C hat E D= beta +gamma=A hat B C$. Analogamente dimostro che $C hat A B= C hat D E$: i triangoli ABC e CED sono simili per il primo criterio di similitudine. Dalla similitudine deduci $ED:CD=AB:AC$ e hai finito.
Grazie mille sei stato chiarissimo! Soltanto non ho capito come posso dimostrare che il quadrilatero ABDE è inscrivibile in una circonferenza? Dico che l'ipotetica circonferenza contiene 2 angoli retti? Può bastare credo! Grazie mille comunque per la risposta, e spero esista un tasto per ringraziarti nel forum!
Ti faccio notare che non c'è bisogno di usare il suggerimento. Io non l'ho fatto. Per dimostrare l'equivalenza dei rettangoli ho usato il teorema
"Siano i segmenti $a, b, c, d$ tali che $a:b=c:d$. Allora il rettangolo che ha per lati $b$ e $c$ è equivalente a quello di lati $a$ e $d$."
Comunque se vuoi usare il suggerimento, devi osservare che gli angoli opposti sono supplementari (nella mia dimostrazione si può vedere questo).
"Siano i segmenti $a, b, c, d$ tali che $a:b=c:d$. Allora il rettangolo che ha per lati $b$ e $c$ è equivalente a quello di lati $a$ e $d$."
Comunque se vuoi usare il suggerimento, devi osservare che gli angoli opposti sono supplementari (nella mia dimostrazione si può vedere questo).
"Indrjo Dedej":
Ti faccio notare che non c'è bisogno di usare il suggerimento. Io non l'ho fatto. Per dimostrare l'equivalenza dei rettangoli ho usato il teorema
"Siano i segmenti $a, b, c, d$ tali che $a:b=c:d$. Allora il rettangolo che ha per lati $b$ e $c$ è equivalente a quello di lati $a$ e $d$."
Comunque se vuoi usare il suggerimento, devi osservare che gli angoli opposti sono supplementari (nella mia dimostrazione si può vedere questo).
Grazie mille hai ragione!!
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