Dimostrazione (quadrato)
In questo problema sono riuscito a svolgere la prima parte, credo correttamente, e sulla seconda non so proprio come muovermi. 
Chiedo aiuto a chi più abile di me.
Disegna un quadrato ABCD. A partire dai vertici opposti A e C, traccia su ogni coppia di lati consecutivi i segmenti AE (su AB), AH, CF (su BC) e CG, fra loro congruenti.
Dimostra che EFGH è un rettangolo.
Successivamente, dai vertici A e C scegli su ogni lato del quadrato altri quattro segmenti AE', AH', CF' e CG', fra loro congruenti.
Dimostra che HE+EF=H'E'+E'F'
Ipotesi
1. ABCD è un quadrato
2. $AE~=CF~=CG~=HA$
3. $AE'~=AH'~=CF'~=CG'$
Tesi
a) EFGH è un rettangolo
b) $HE+EF=H'E'+E'F'$
Dimostrazione
$\hat{HAE}~=\hat{GCF}$ in quanto retti in $\hat{A}$ e in $\hat{C}$ per ipotesi 1 e congruenti i cateti. Deduco che $HE~=GF$. $\hat{EBF}~=\hat{GDH}$ in quanto retti in $\hat{B}$ e in $\hat{D}$ per ipotesi 1 e congruenti i cateti (in quanto differenze di segmenti congruenti). Deduco che $EF~=HG$. Quindi EFGH è un parallelogramma.
Considero ora i triangoli HDG e GCF. Si tratta di triangoli isosceli e rettangoli per le ipotesi 1 e 2. Gli angoli alle basi sono complementari ed eguali: pertanto $\hat{DGH}~=\hat{FGC}~=\hat{R/2}$. L'angolo $\hat{FGH}$ è quindi retto perchè supplementare di due angoli la cui somma è congruente con l'angolo retto. Da ciò la tesi a).
Per la tesi b), come dicevo prima, avrei bisogno di un aiuto. Ho provato diverse strade; mi sono anche convinto della veridicità della tesi, da un punto di vista grafico, ma dal punto di vista logico non sono approdato a nulla.
Chiedo aiuto a chi più abile di me.
Disegna un quadrato ABCD. A partire dai vertici opposti A e C, traccia su ogni coppia di lati consecutivi i segmenti AE (su AB), AH, CF (su BC) e CG, fra loro congruenti.
Dimostra che EFGH è un rettangolo.
Successivamente, dai vertici A e C scegli su ogni lato del quadrato altri quattro segmenti AE', AH', CF' e CG', fra loro congruenti.
Dimostra che HE+EF=H'E'+E'F'
Ipotesi
1. ABCD è un quadrato
2. $AE~=CF~=CG~=HA$
3. $AE'~=AH'~=CF'~=CG'$
Tesi
a) EFGH è un rettangolo
b) $HE+EF=H'E'+E'F'$
Dimostrazione
$\hat{HAE}~=\hat{GCF}$ in quanto retti in $\hat{A}$ e in $\hat{C}$ per ipotesi 1 e congruenti i cateti. Deduco che $HE~=GF$. $\hat{EBF}~=\hat{GDH}$ in quanto retti in $\hat{B}$ e in $\hat{D}$ per ipotesi 1 e congruenti i cateti (in quanto differenze di segmenti congruenti). Deduco che $EF~=HG$. Quindi EFGH è un parallelogramma.
Considero ora i triangoli HDG e GCF. Si tratta di triangoli isosceli e rettangoli per le ipotesi 1 e 2. Gli angoli alle basi sono complementari ed eguali: pertanto $\hat{DGH}~=\hat{FGC}~=\hat{R/2}$. L'angolo $\hat{FGH}$ è quindi retto perchè supplementare di due angoli la cui somma è congruente con l'angolo retto. Da ciò la tesi a).
Per la tesi b), come dicevo prima, avrei bisogno di un aiuto. Ho provato diverse strade; mi sono anche convinto della veridicità della tesi, da un punto di vista grafico, ma dal punto di vista logico non sono approdato a nulla.
Risposte
Prova a tracciare la diagonale AC, dovresti riuscire a dimostrare che HE+EF=AC, non è difficile basta lavorare sui triangoli congruenti.
Traccio la diagonale AC che interseca HE in M. Dimostro che i due triangoli HMA e AME sono congruenti perchè AH=AE, AM in comune, e gli angoli $\hat{HAM}$ e $\hat{EAM}$ congruenti in quanto il risultato della bisezione di $\hat{DAB}$ della diagonale AC. Deduco che $HM~=ME$.
E poi? Non riesco proprio a procedere.
E poi? Non riesco proprio a procedere.
Alternativamente: sia $EF cap E'H' = E' '$, $H' ' $ e $ F' ' $ le proiezioni di $F'$ e $H$ su $EF$ e $E'H'$ rispettivamente...
... pongo, inoltre:
$M=ACnnnHE$ e
$M'=ACnnnH'E'$
$HAM~=EAM$ per il I° criterio: AM comune, $HA~=AE$ per ipotesi 2, $\hat{HAM}~=\hat{EAM}~=\hat{R/2}$ per ipotesi 1. Deduco $\hat{MEA}~=\hat{MHA}$. Quindi HAE è isoscele rettangolo in $\hat{A}$. Per cui $\hat{AHE}~=\hat{AEM}~=\hat{R/2}$. AME è allora isoscele in quanto $\hat{MAE}~=\hat{AEM}~=\hat{R/2}$. Deduco che $\hat{AME}~=\hat{R}$. Quindi $AC\bot HE$.
Ragionamenti analoghi conducono a dimostrare che $\hat{AM'E'}~=\hat{R}$ e quindi $AC\bot H'E'$. Da ciò discende che HE // H'E'.
In modo equivalente si può mostrare che $EF\bot BD$ e quindi EE'' // AC, ovvero $ E E''\bot H''E''$. Sappiamo, inoltre, che $HH''\bot H'E'$ per costruzione. Deduco che HH''E''E è un rettangolo e:
1. $H''E''~=HE$.
In modo analogo si può mostrare che E''F''F'E' è un rettangolo e:
2. $E''F''~=E'F'$.
Inoltre, $ E E'' E'~=HH''H'~=FF''F'$ in quanto isosceli rettangoli con le ipotenuse congruenti. Si deduce che:
3. $E''E''~=E''E'$
4. $H'H''~=H''H$
5. $FF''~=F''F'$.
Sommando la prima con la quarta si ottiene:
$H''E''+H'H''~=HE+H''H$
A quest'ultima espressione sommiamo la quinta:
$H''E''+H'H''+F''F'~=HE+H''H+FF''$
sommiamo infine la seconda:
$H''E''+H'H''+F''F'+E'F'~=HE+H''H+FF''+E''F''$
Sostituendo i segmenti congruenti derivanti dalle dimostrazioni precedenti:
$H''E''+H'H''+E''E'+E'F'~=HE+E''E+FF''+E''F''$
Ovvero la tesi.
Mi sembra corretta, anche se un po' cervellotica. Non sono riuscito a trovare strade più veloci.
Attendo pareri sul rigore della dimostrazione proposta e suggerimenti su percorsi alternativi più snelli.
Grazie.
$M=ACnnnHE$ e
$M'=ACnnnH'E'$
$HAM~=EAM$ per il I° criterio: AM comune, $HA~=AE$ per ipotesi 2, $\hat{HAM}~=\hat{EAM}~=\hat{R/2}$ per ipotesi 1. Deduco $\hat{MEA}~=\hat{MHA}$. Quindi HAE è isoscele rettangolo in $\hat{A}$. Per cui $\hat{AHE}~=\hat{AEM}~=\hat{R/2}$. AME è allora isoscele in quanto $\hat{MAE}~=\hat{AEM}~=\hat{R/2}$. Deduco che $\hat{AME}~=\hat{R}$. Quindi $AC\bot HE$.
Ragionamenti analoghi conducono a dimostrare che $\hat{AM'E'}~=\hat{R}$ e quindi $AC\bot H'E'$. Da ciò discende che HE // H'E'.
In modo equivalente si può mostrare che $EF\bot BD$ e quindi EE'' // AC, ovvero $ E E''\bot H''E''$. Sappiamo, inoltre, che $HH''\bot H'E'$ per costruzione. Deduco che HH''E''E è un rettangolo e:
1. $H''E''~=HE$.
In modo analogo si può mostrare che E''F''F'E' è un rettangolo e:
2. $E''F''~=E'F'$.
Inoltre, $ E E'' E'~=HH''H'~=FF''F'$ in quanto isosceli rettangoli con le ipotenuse congruenti. Si deduce che:
3. $E''E''~=E''E'$
4. $H'H''~=H''H$
5. $FF''~=F''F'$.
Sommando la prima con la quarta si ottiene:
$H''E''+H'H''~=HE+H''H$
A quest'ultima espressione sommiamo la quinta:
$H''E''+H'H''+F''F'~=HE+H''H+FF''$
sommiamo infine la seconda:
$H''E''+H'H''+F''F'+E'F'~=HE+H''H+FF''+E''F''$
Sostituendo i segmenti congruenti derivanti dalle dimostrazioni precedenti:
$H''E''+H'H''+E''E'+E'F'~=HE+E''E+FF''+E''F''$
Ovvero la tesi.
Mi sembra corretta, anche se un po' cervellotica. Non sono riuscito a trovare strade più veloci.
Attendo pareri sul rigore della dimostrazione proposta e suggerimenti su percorsi alternativi più snelli.
Grazie.
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