Dimostrazione problema
ciao, sto avendo dei problemi con una dimostrazione..
In un triangolo isoscele di base AB e di vertice C prolunga il lato AC di un segmento CE congruente ad AB, congiungi E con B e dimostra che il triangolo ottenuto ABE è un triangolo rettangolo !!!
io ho provato a risoverlo considerando che se il triangolo è rettangolo, significa che deve essere verificato Pitagora.
quindi ho fatto:
$AB=a$
$EC=a$
$AC=b$
$BC=b$
$EB=a+b$
poi ho tracciato l'altezza $CH$ relativa al lato $AB $ e quindi ho fatto $AH=a/2$
ho tracciato l'altezza $KC $relativa al lato $AE $
per trovare $KA$ ho fatto $b^2-(a/2)^2$
essendo $KC$ uguale a $AH $
ho trovato $EK$ facendo $a^2-(a/2)^2$
e poi volevo fare
$(EK^2+AK^2) +AB^2=EB^2$
ma l'uguaglianza non viene verificata. Cosa ho sbagliato?
grazie a tutti
In un triangolo isoscele di base AB e di vertice C prolunga il lato AC di un segmento CE congruente ad AB, congiungi E con B e dimostra che il triangolo ottenuto ABE è un triangolo rettangolo !!!
io ho provato a risoverlo considerando che se il triangolo è rettangolo, significa che deve essere verificato Pitagora.
quindi ho fatto:
$AB=a$
$EC=a$
$AC=b$
$BC=b$
$EB=a+b$
poi ho tracciato l'altezza $CH$ relativa al lato $AB $ e quindi ho fatto $AH=a/2$
ho tracciato l'altezza $KC $relativa al lato $AE $
per trovare $KA$ ho fatto $b^2-(a/2)^2$
essendo $KC$ uguale a $AH $
ho trovato $EK$ facendo $a^2-(a/2)^2$
e poi volevo fare
$(EK^2+AK^2) +AB^2=EB^2$
ma l'uguaglianza non viene verificata. Cosa ho sbagliato?
grazie a tutti
Risposte
C'è un errore nel testo
Affinché ABE sia un triangolo rettangolo il segmento CE deve essere congruente ad AC.
Il testo corretto è quindi
In un triangolo isoscele di base AB e di vertice C prolunga il lato AC di un segmento CE congruente ad AC, congiungi E con B e dimostra che il triangolo ottenuto ABE è un triangolo rettangolo.
Affinché ABE sia un triangolo rettangolo il segmento CE deve essere congruente ad AC.
Il testo corretto è quindi
In un triangolo isoscele di base AB e di vertice C prolunga il lato AC di un segmento CE congruente ad AC, congiungi E con B e dimostra che il triangolo ottenuto ABE è un triangolo rettangolo.
ciao,grazie della risposta.
quindi se pongo $AC=CE $ posso usare Pitagora per dimostrare il problema?
quindi se pongo $AC=CE $ posso usare Pitagora per dimostrare il problema?
probabilmente viene anche con Pitagora, ma è esagerato, basta lavorare sugli angoli.
non riesco a capire come potrei lavorare sugli angoli ...
forse dovrei dimostrare che $ A\hat C E$ è complementare a a $A\ hat E C$..
ma come?
forse dovrei dimostrare che $ A\hat C E$ è complementare a a $A\ hat E C$..
ma come?
La dimostrazione più semplice è per via geometrica; per la richiesta, dovendo essere il prolungamento di AC, indicato con CE, congruente con AC stesso, deriva che il vertice del triangolo CEB coincide con il vertice del triangolo ACB che, essendo isoscele, si trova ad $bar(AB)/2$, pertanto il lato EB risulta parallelo all'altezza CH del primo triangolo ABC e, dunque, perpendicolare al lato AB. Il triangolo AEB è, pertanto, rettangolo in B.
ciao, grazie della risposta 
cmq non ho capito una cosa: perchè se $EB$ è parallelo a $CH$, $EB$ è perpendicolare ad $AB$?
cmq non ho capito una cosa: perchè se $EB$ è parallelo a $CH$, $EB$ è perpendicolare ad $AB$?
Perché, nel triangolo iscoscele, l'altezza è perpendicolare alla base.
scusate ma mi sembra che abbiate dato per dimostrato proprio quello che era da dimostrare, ovvero il parallelismo tra CH e BE.
Il quale si dimostra tracciando per C l'altezza del triangolo BCE (isoscele per costruzione) che incide la base BE nel punto H'.
Il quadrilatero H C H' B è un rettangolo poiche gli angoli opposti sono retti. Di conseguenza il triangolo AEB è rettangolo.
Il quale si dimostra tracciando per C l'altezza del triangolo BCE (isoscele per costruzione) che incide la base BE nel punto H'.
Il quadrilatero H C H' B è un rettangolo poiche gli angoli opposti sono retti. Di conseguenza il triangolo AEB è rettangolo.
pensavo che si fosse arrivati ad una soluzione.
visto che ci sono dei dubbi, propongo quella che mi sembra più immediata, con gli angoli.
$ChatAB = ChatBA = alpha$ perché angoli alla base di un triangolo isoscele.
$EhatCB = 2 alpha$ per il secondo teorema dell'angolo esterno (angolo adiacente a $AhatCB=beta$).
ma analogamente, poiché anche $CBE$ è un triangolo isoscele, $ChatBE=ChatEB=gamma$, e, per la somma degli angoli interni del triangolo $CBE$, $2 gamma + 2 alpha =180^circ$, da cui, dividendo per $2$ ambo i membri, $alpha + gamma =90^circ$ (con $AhatBE=AhatBC+ChatBE=alpha+gamma=90^circ$.
spero sia chiaro. ciao.
visto che ci sono dei dubbi, propongo quella che mi sembra più immediata, con gli angoli.
$ChatAB = ChatBA = alpha$ perché angoli alla base di un triangolo isoscele.
$EhatCB = 2 alpha$ per il secondo teorema dell'angolo esterno (angolo adiacente a $AhatCB=beta$).
ma analogamente, poiché anche $CBE$ è un triangolo isoscele, $ChatBE=ChatEB=gamma$, e, per la somma degli angoli interni del triangolo $CBE$, $2 gamma + 2 alpha =180^circ$, da cui, dividendo per $2$ ambo i membri, $alpha + gamma =90^circ$ (con $AhatBE=AhatBC+ChatBE=alpha+gamma=90^circ$.
spero sia chiaro. ciao.
Ancora più immediato.
Lemma. Un triangolo è rettangolo in un angolo sse la mediana relativa al lato opposto al vertice dell'angolo è congruente alla metà dello stesso lato.
Lemma. Un triangolo è rettangolo in un angolo sse la mediana relativa al lato opposto al vertice dell'angolo è congruente alla metà dello stesso lato.
ovvio che è più immediato: utilizza tanta di quella teoria ... ma da dimostrare, immagino, dato il tipo di problema.
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