Dimostrazione per via algebrica
Buongiorno.
Siano $a$ e $n$ interi positivi, con $a>=4$ ,dimostrare che esistono 3 numeri interi positivi x,y,z tali che
$(4a-10)^n-(a-4)^n=x(a-1)+y(a-2)+z(a-3)$
Non saprei proprio come agire!
Ho provato a sostituire un po' d valori al posto dei parametri e l'uguaglianza mi risulta sempre verificata a patto che sia $n=x=y=z$ .
Non credo che possa valere come dimostrazione uno "svolgimento per tentativi" come il mio.
Come potrei dimostrarlo?
Siano $a$ e $n$ interi positivi, con $a>=4$ ,dimostrare che esistono 3 numeri interi positivi x,y,z tali che
$(4a-10)^n-(a-4)^n=x(a-1)+y(a-2)+z(a-3)$
Non saprei proprio come agire!
Ho provato a sostituire un po' d valori al posto dei parametri e l'uguaglianza mi risulta sempre verificata a patto che sia $n=x=y=z$ .
Non credo che possa valere come dimostrazione uno "svolgimento per tentativi" come il mio.
Come potrei dimostrarlo?
Risposte
Una differenza di potenze è sempre divisibile per la differenza delle basi che è $4a-10-a+4=3a-6=(a-1)+(a-2)+(a-3)$ quindi,
$(4a-10)^n-(a-4)^n=P_n(a)*(3a-6)=P_n(a)*[(a-1)+(a-2)+(a-3)]=P_n(a)*(a-1)+P_n(a)*(a-2)+P_n(a)*(a-3)$
Per dimostrare che $P_n(a)$ è positivo $AA a>4$ basta verificare che $4a-10>a-4$ per $a>2$
$(4a-10)^n-(a-4)^n=P_n(a)*(3a-6)=P_n(a)*[(a-1)+(a-2)+(a-3)]=P_n(a)*(a-1)+P_n(a)*(a-2)+P_n(a)*(a-3)$
Per dimostrare che $P_n(a)$ è positivo $AA a>4$ basta verificare che $4a-10>a-4$ per $a>2$
Chiedo scusa, ma non ho capito granchè! La mia misera testolina non riesce a tradurre quella sequenza di numeri.
A cosa mi interessa sapere qual è la differenza delle basi?
Che significa $P_(n) (a)$?
Ad ogni modo, la traccia non richiedeva di dimostrare che esistessero quei tre numeri x,y,z?
Nell'ultimo passaggio poi, perchè dovrei imporre a>2, se nella traccia era $a>=4$
A cosa mi interessa sapere qual è la differenza delle basi?
Che significa $P_(n) (a)$?
Ad ogni modo, la traccia non richiedeva di dimostrare che esistessero quei tre numeri x,y,z?
Nell'ultimo passaggio poi, perchè dovrei imporre a>2, se nella traccia era $a>=4$
1) $(4a-10)^n-(a-4)^n$ è divisibile per la differenza delle basi, che, guarda caso coincide con la somma dei tre polinomi $(a-1)+(a-2)+(a-3)$
2) se $(4a-10)^n-(a-4)^n$ è divisibile per $(a-1)+(a-2)+(a-3)$ allor lo puoi scrivere come $(4a-10)^n-(a-4)^n=P_n(a)*[(a-1)+(a-2)+(a-3)]$ dove $P_n(a)$ è il polinomio quoziente della divisione, che siccome dipende da n e da a lo indico in questo modo.
3) dopo aver eseguito la moltiplicazione ottengo $P_n(a)*(a-1)+P_n(a)*(a-2)+P_n(a)*(a-3)$
4) devo dimostrare che $P_n(a)$ è intero e positivo visto che $x=y=z=P_n(a)$ andrebbe bene come soluzione
5) intero lo è di sicuro in quanto le operazioni di somma, prodotto, potenza tra interi sono intere
6) resta da dimostrare la positività, controllo quando $(4a-10)^n-(a-4)^n$ è positivo, lo è per $a>2$, quindi per $a>=4$ va bene, controllo quando $(a-1)+(a-2)+(a-3)$ è positivo, anche questo lo è per $a>2$, quindi per $a>=4$ va bene, se il dividendo e il divisore sono positivi ne segue che lo è anche il quoziente, cioè $P_n(a)$. Ho quindi dimostrato quanto richiesto.
2) se $(4a-10)^n-(a-4)^n$ è divisibile per $(a-1)+(a-2)+(a-3)$ allor lo puoi scrivere come $(4a-10)^n-(a-4)^n=P_n(a)*[(a-1)+(a-2)+(a-3)]$ dove $P_n(a)$ è il polinomio quoziente della divisione, che siccome dipende da n e da a lo indico in questo modo.
3) dopo aver eseguito la moltiplicazione ottengo $P_n(a)*(a-1)+P_n(a)*(a-2)+P_n(a)*(a-3)$
4) devo dimostrare che $P_n(a)$ è intero e positivo visto che $x=y=z=P_n(a)$ andrebbe bene come soluzione
5) intero lo è di sicuro in quanto le operazioni di somma, prodotto, potenza tra interi sono intere
6) resta da dimostrare la positività, controllo quando $(4a-10)^n-(a-4)^n$ è positivo, lo è per $a>2$, quindi per $a>=4$ va bene, controllo quando $(a-1)+(a-2)+(a-3)$ è positivo, anche questo lo è per $a>2$, quindi per $a>=4$ va bene, se il dividendo e il divisore sono positivi ne segue che lo è anche il quoziente, cioè $P_n(a)$. Ho quindi dimostrato quanto richiesto.
Credo di essere messo davvero male; davvero faccio fatica a seguire.
Per cercare di migliorare la situazione-escludendo un trapianto di cervello- quali rimedi potrei adottare? Che teoria/esercizi mi consiglieresti di studiare/praticare?
Per cercare di migliorare la situazione-escludendo un trapianto di cervello- quali rimedi potrei adottare? Che teoria/esercizi mi consiglieresti di studiare/praticare?
hai presente la scomposizione di somme e differenze di potenze di ugual esponente? ad esempio $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ?
$A^n-B^n=(A-B)(A^(n-1)+A^(n-2)B+A^(n-3)B^2+...+AB^(n-2)+B^(n-1))$.
nel tuo caso hai $(4a-10)^n-(a-4)^n=[(4a-10)-(a-4)]*[(4a-10)^(n-1)+(4a-10)^(n-2)(a-4)+...+(4a-10)(a-4)^(n-2)+(a-4)^(n-1)]=$
$=3(a-2)*[(4a-10)^(n-1)+(4a-10)^(n-2)(a-4)+...+(4a-10)(a-4)^(n-2)+(a-4)^(n-1)]$, dove la "parentesi quadra" rappresenta il termine che @melia ha chiamato $P_n(a)$ e che è costituito da una somma di termini tutti $>=0$ per $a>=4$.
spero sia chiaro. ciao.
$A^n-B^n=(A-B)(A^(n-1)+A^(n-2)B+A^(n-3)B^2+...+AB^(n-2)+B^(n-1))$.
nel tuo caso hai $(4a-10)^n-(a-4)^n=[(4a-10)-(a-4)]*[(4a-10)^(n-1)+(4a-10)^(n-2)(a-4)+...+(4a-10)(a-4)^(n-2)+(a-4)^(n-1)]=$
$=3(a-2)*[(4a-10)^(n-1)+(4a-10)^(n-2)(a-4)+...+(4a-10)(a-4)^(n-2)+(a-4)^(n-1)]$, dove la "parentesi quadra" rappresenta il termine che @melia ha chiamato $P_n(a)$ e che è costituito da una somma di termini tutti $>=0$ per $a>=4$.
spero sia chiaro. ciao.
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