Dimostrazione per induzione
Salve a tutti, sto leggendo un libro in cui c'è il seguente esercizio:
sapendo che la somma dei primi n quadrati dei numeri naturali è uguale a [tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
dimostra che [tex]1^2+3^2+5^2+.....+(2n+1)^2=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}[/tex]
e oltre a questo c'è anche lo stesso tipo di esercizio solo che con la somma dei cubi dei numeri dispari.
da un indicazione: cioè che il principio di induzione può essere leggermente generalizzato come segue:
"Data una successione [tex]A_s, A_{s+1}, A_{s+2},...[/tex] dove s è un numero intero positivo se accade che:
a) per ogni [tex]r\geqslant s[/tex], la validità di [tex]A_{r+1},[/tex] segua da quella di [tex]A_r[/tex], e
b) sia noto che [tex]A_s[/tex] è valida,
allora tutte le proposizioni [tex]A_s, A_{s+1}, A_{s+2},...[/tex] sono valide ; cioè [tex]A_n[/tex] è valida per ogni [tex]n\geqslant s[/tex];
non ho capito se questo è il principio di induzione forte? e soprattutto non ho capito come si usa
sapendo che la somma dei primi n quadrati dei numeri naturali è uguale a [tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
dimostra che [tex]1^2+3^2+5^2+.....+(2n+1)^2=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}[/tex]
e oltre a questo c'è anche lo stesso tipo di esercizio solo che con la somma dei cubi dei numeri dispari.
da un indicazione: cioè che il principio di induzione può essere leggermente generalizzato come segue:
"Data una successione [tex]A_s, A_{s+1}, A_{s+2},...[/tex] dove s è un numero intero positivo se accade che:
a) per ogni [tex]r\geqslant s[/tex], la validità di [tex]A_{r+1},[/tex] segua da quella di [tex]A_r[/tex], e
b) sia noto che [tex]A_s[/tex] è valida,
allora tutte le proposizioni [tex]A_s, A_{s+1}, A_{s+2},...[/tex] sono valide ; cioè [tex]A_n[/tex] è valida per ogni [tex]n\geqslant s[/tex];
non ho capito se questo è il principio di induzione forte? e soprattutto non ho capito come si usa
Risposte
Il tuo esercizio può essere svolto direttamente con il normale principio di induzione; volendo però seguire la traccia proposta, io farei così: usando la formula data calcolo prima
$S=1^2+2^2+3^2+...+(2n+1)^2$
e poi
$S_1=2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=2^2(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$
La somma richiesta è data da $S-S_1$. Ragionamento analogo per i cubi.
Non vedo l'utilità dell'indicazione e suppongo che sia stato fatto un ragionamento diverso dal mio.
$S=1^2+2^2+3^2+...+(2n+1)^2$
e poi
$S_1=2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=2^2(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$
La somma richiesta è data da $S-S_1$. Ragionamento analogo per i cubi.
Non vedo l'utilità dell'indicazione e suppongo che sia stato fatto un ragionamento diverso dal mio.
grazie per la risposta,
in realtà ne avevo già trovate più di una di dimostrazioni ma in realtà volevo capire come applicare quel suggerimento (il principio di induzione "forte"). Però vabbè non è necessario era solo un curiosità.
in realtà ne avevo già trovate più di una di dimostrazioni ma in realtà volevo capire come applicare quel suggerimento (il principio di induzione "forte"). Però vabbè non è necessario era solo un curiosità.
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