Dimostrazione (MCD)
Ho trovato un esercizio che sembra dover essere risolto attraverso le congruenze, come uno precedente..
Siano $a$ e $b$ due numeri naturali tali che il loro massimo comun divisore sia 8. Quali sono i valori possibili del massimo comun divisore fra $a^3$ e $b^4$?
Siano $a$ e $b$ due numeri naturali tali che il loro massimo comun divisore sia 8. Quali sono i valori possibili del massimo comun divisore fra $a^3$ e $b^4$?
Risposte
A mio avviso, i valori sono $8^3$ o $8^4$
Infatti per Hp si ha
$gcd(a,b)=8$
il che implica
$a=8k$ (1)
$b=8h$ (2)
con $gcd(k,h)=1$ (i due numeri sono primi tra loro, infatti se avessero un divisore comune, questo dovrebbe essere considerato quando si calcola il $gcd$ di $a,b$, comunque se non ti è chiaro questo passaggio dimmelo che te lo illustro meglio).
Perciò, dalla (1) e dalla (2) si ha
$a^3=8^3*k^3$
$b^4=8^3*8h^4$ (poichè $8^4h^4=8^3*8h$)
Ora osserva: il massimo comun divisore tra $k^3$ e $h^4$ continua ad essere $1$ poichè se prima essi non avevano fattori comuni, ora l'elevamento a potenza di certo non ne crea altri (eleva a potenza solo quelli che già c'erano).
Si vede che certamente $a^3$ e $b^4$ condividono un fattore $8^3$ e questo risulta massimo se
$k^3$ e $8h^4$ sono coprimi (in questo caso $k$ sarebbe dispari).
Supponiamo invece $k$ divisibile per $2$, pari.
$k^3$ risulta divisibile per $8$ e quindi avrebbe un fattore in comune con $8h^4$, appunto $8$
Perciò, calcolando il $gcd$ di $a$ e $b$ bisogna tenere conto anche di questo $8$, e la risposta sarebbe
$8^3*8=8^4$
Segnalami eventuali perplessità o dubbi
Ciao.
Infatti per Hp si ha
$gcd(a,b)=8$
il che implica
$a=8k$ (1)
$b=8h$ (2)
con $gcd(k,h)=1$ (i due numeri sono primi tra loro, infatti se avessero un divisore comune, questo dovrebbe essere considerato quando si calcola il $gcd$ di $a,b$, comunque se non ti è chiaro questo passaggio dimmelo che te lo illustro meglio).
Perciò, dalla (1) e dalla (2) si ha
$a^3=8^3*k^3$
$b^4=8^3*8h^4$ (poichè $8^4h^4=8^3*8h$)
Ora osserva: il massimo comun divisore tra $k^3$ e $h^4$ continua ad essere $1$ poichè se prima essi non avevano fattori comuni, ora l'elevamento a potenza di certo non ne crea altri (eleva a potenza solo quelli che già c'erano).
Si vede che certamente $a^3$ e $b^4$ condividono un fattore $8^3$ e questo risulta massimo se
$k^3$ e $8h^4$ sono coprimi (in questo caso $k$ sarebbe dispari).
Supponiamo invece $k$ divisibile per $2$, pari.
$k^3$ risulta divisibile per $8$ e quindi avrebbe un fattore in comune con $8h^4$, appunto $8$
Perciò, calcolando il $gcd$ di $a$ e $b$ bisogna tenere conto anche di questo $8$, e la risposta sarebbe
$8^3*8=8^4$
Segnalami eventuali perplessità o dubbi
Ciao.
bello questo!!
forse si fa cosi:
$a=p_1^(alpha)... 2^3$ e $b=q_1^s... 2^3$ la loro scomposizione in fattori primi
è evidente che (a,b)=8
allora tra i fattori di $a^3$ ci sara $2^9$ e tra quelli di $b^4$ ci sarà $2^12$
quindi un possibile valore di $(a^3,b^4)=2^9$...
almeno ho capito di che trattava
??
forse si fa cosi:
$a=p_1^(alpha)... 2^3$ e $b=q_1^s... 2^3$ la loro scomposizione in fattori primi
è evidente che (a,b)=8
allora tra i fattori di $a^3$ ci sara $2^9$ e tra quelli di $b^4$ ci sarà $2^12$
quindi un possibile valore di $(a^3,b^4)=2^9$...
almeno ho capito di che trattava
??
Credo che abbiate detto la stessa cosa, anche se Steven ha analizzato anche il caso in cui k sia pari.. Tutto chiaro, anche il fatto che $gcd(k,h)=1$. Una cosa, con 'coprimi' intendi 'primi tra loro'??
Grazie ad entrambe, tutto chiarissimo!
Grazie ad entrambe, tutto chiarissimo!
Una cosa, con 'coprimi' intendi 'primi tra loro'
Esattamente
Grazie ad entrambe
Non so fedeb, ma io sono un "lui"
Ciao
mmm, bene, ora avrei bisogno anche di qualche ripetizione di italiano! Io ho sempre detto 'entrambe' o 'entrambi' indifferentemente, e indipendentemente dal genere dei sostantivi... bene! eheh..
si anch'io sono un lui... 
Io sono una lei, ma molto ignorante a quanto pare hihihi
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