Dimostrazione Massimo Comune Divisione (MCD)

[frarick]

Salve a tutti,
sto avendo problemi a risolvere questo esercizio:

Siano $a$, $b$ e $c$ tre numeri naturali non nulli.
A) Verifica, con opportuni esempi, che in generale $MCD(a,b*c)!=MCD(a,b)*MCD(a,c)$
B) Sai trovare una condizione su $a$, $b$ e $c$ che garantisca la validità della seguente uguaglianza?
$MCD(a,b*c)=MCD(a,b)*MCD(a,c)$

La consegna A è stato abbastanza facile da risolvere, basta fare un esempio in cui la condizione è valida:
$MCD(24,18)!=MCD(24,6)*MCD(24,3) => 6!=6*3$

Per quanto riguarda la parte B non so proprio da dove partire...

Grazie mille in anticipo per l'aiuto

[dan952]

L'ipotesi è $MCD(b,c)=1$

A te scoprire perché...

[teorema55]

Penso che dan95 intendesse
$MCD(b,c)=1$
e non
$mcm(b,c)=1$
Ciò significa che
$b=1$ V $c=1$

[dan952]

No non significa $b=1$ o $c=1$

[teorema55]

E che cosa, invece?

[dan952]

Prendiamo $b=2$ e $c=5$

$\text{MCD}(10,10)=10=\text{MCD}(10,5)\text{MCD}(10,2)=5 \cdot 2$

Nessuno dei due è 1...

[axpgn]

@teorema55
Significa che $b$ e $c$ sono prinmi fra loro ovvero non hanno divisori in comune (tranne $1$, ovviamente ...)

[teorema55]

Saresti in grado di dimostrarlo? Perché mi risulta, per esempio, che

$MCD(84,924) = MCD(84, 14.66) = 84$

$MCD(84,14)=14$

$MCD(84,66)=6$

$MCD(14,66)=2$

Ora tu dici che

$MCD(84,924)=(MCD(84,14)MCD(84,66))/(MCD(14,66))$

cioè

$84=(14.6)/2$

$84=42$

che, a me, non sembra tanto vero............

[teorema55]

Ora, dopo il tuo ultimo post che non avevo ancora visto, aggiungi (o meglio, ribadisci) una ipotesi che prima non avevo preso in considerazione. Vediamo...........

[axpgn]

Aspe', io ho solo risposto alla tua domanda "Che cosa significa $MCD(b,c)=1$ ?" ...

[teorema55]

Dunque, axpgn e dan85, se

$MCD(b,c)=1$

allora la formula di dan85

$MCD(a,bc)=(MCD(a,b)MCD(a,c))/(MCD(b,c))$

si riduce a

$MCD(a,bc)=(MCD(a,b)MCD(a,c))$

Beh.........che quindi è vera proprio nel caso che b e c siano primi fra loro.

Ok, direi che siamo d'accordo

[axpgn]

Beh, mica tanto ... dan85 ha postato una formula, tu l'hai smentito, chi ha ragione ? Siamo qui che aspettiamo, mica potete lasciarci così ...

Cordialmente, Alex

P.S.: nel caso che $b$ e $c$ siano primi fra loro si dimostra facilmente ...

[dan952]

Ha ragione lui...

[teorema55]

Si, si, è chiaro.

In tal caso la formula

$MCD(a,bc)=(MCD(a,b)MCD(a,c))/(MCD(b,c))$

si riduce, banalmente, a

$MCD(a,bc)=(MCD(a,b)MCD(a,c))$

C.V.D.

Grazie a entrambi per il chiarimento ( = per aver demolito la mia cantonata..........)

[axpgn]

Non ci sono più le belle "flame war" di una volta ...

[teorema55]

Non ero ancora stato arruolato.................ma altre ce ne saranno!

[teorema55]

"axpgn":tu l'hai smentito

Non l'ho smentito, semplicemente non avevo considerato che non era necessario che

$b=1$ V $c=1$

bastava che b e c fossero primi fra loro.