Dimostrazione lipschitzianità del valore assoluto

[giannirecanati]

Il titolo spaventa . Faccio il 2° e mi piace la matematica, la studio anche per conto mio. Però oggi quando un esercizio chiedeva di dimostrare:

\(\displaystyle |a−b| ≥ ||a| − |b|| \) sono rimasto un po' atterrito. Il prof. ha detto di utilizzare la disuguaglianza triangolare, io credo piuttosto servano i vettori e le norme, ma purtroppo ho avuto poco tempo per pensarci.
Qualche indizio?

[luca961]

$||a|-|b||\leq |a+b|\leq|a|+|b|$ Questa è la coppia di disuguaglianze triangolari

Poni l' attenzione sulla prima disuguaglianza.
$|a+(-b)|\geq||a|-|-b||$
$|a-b|\geq||a|-|b||$

[giannirecanati]

"luca96":$||a|-|b||\leq |a+b|\leq|a|+|b|$

Come si ricavano e dimostrano queste?

[luca961]

Non saprei scriverti una dimostrazione pulita, ma se provi con qualche valore di a e b te ne accorgi subito. Penso che non devi dimostrarle quelle disuguaglianze dato che il professore ti ha detto solo di utilizzarle

[Seneca1]

"giannirecanati":[quote="luca96"]$||a|-|b||\leq |a+b|\leq|a|+|b|$

Come si ricavano e dimostrano queste?[/quote]

Per fare le cose per bene dovresti, data la definizione di valore assoluto e le proprietà dei numeri reali, dimostrare la disuguaglianza triangolare:

$|a+b|\leq|a|+|b|$

Facilmente ricavi anche $|a+b|\geq ||a|-|b||$ e, usando quest'ultima, è immediato dedurre la disuguaglianza assegnata.

[giannirecanati]

Grazie mille dei consigli. Sono riuscito a dimostrarla comunque per altra via.
Pensate sia corretto, come dimostrazione, considerare i casi \(\displaystyle a<0,b<0;a>0,b<0;a>0b>0;a<0,b>0 \) e dimostrare per ognuno di questi?

[@melia]

Sì

[DanPax]

|a|=|a-b+b|<=|a-b|+|b| segue che |a|-|b| <= |a - b| ed infine ||a|-|b||<= |a-b|
Ciao Ciao

[Obidream]

Per la disuguaglianza triangolare mi permetto di suggerirti questa, che sfrutta una proprietà del valore assoluto, ovvero:

$-|a|<=a<=|a|$

Quindi per 2 numeri $x$ e $y$ vale:

$-|x|<=x<=|x|$

$-|y|<=y<=|y|$

Sommando algebricamente queste 2 relazioni:

$-|x|-|y|<=x+y<=|x|+|y|$

Ora pongo $k=|x|+|y|$ e quindi:

$-k<=x+y<=k$ da cui $|x+y|<=k=>|x+y|<=|x|+|y|$

Da questa possiamo dimostrare immediatamente che $||x|-|y||<=|x-y|$, usando la disuguaglianza triangolare in questo modo:
$|x-y+y|<=|x-y|+|y|$ dalla quale otteniamo $|x-y|>=|x|-|y|$ e $|x|-|y|>=-|y-x|$ quindi usando le proprietà del valore assoluto:

$-|x-y|<=|x|-|y|<=|x-y|$

Ponendo $k=|x-y|$ $=> -k<=|x|-|y|<=k$ da cui $||x|-|y||<=k$ e quindi $||x|-|y||<=|x-y|$

[paolomax1]

Ciao obidream come faccio a ottenere le due disequazioni di cui parli?

∣∣x−y∣∣≥|x|−∣∣y∣∣

e

|x|−∣∣y∣∣≥−∣∣y−x∣∣ ?

Grazie