Dimostrazione geometria

[Nidaem]

Buona sera a tutti. Spero mi possiate dare una "mano" con una dimostrazione che HO INIZIATO che però non so concludere. Grazie in anticipo a tutti.

1) Sui lati AB, BC, CD, DA di un quadrato si prendono rispettivamente i punti M, N, P, Q in modo che sia MB=BN=DP=DQ. Dimostrare che il quadrilatero MNPQ è un rettangolo il cui perimetro non varia al variare della posizione dei punti M, N, P, Q sui lati del quadrato.

Io ho iniziato così:

IP: ABCD quadrato
MB=BN=DP=DQ

TS: MNPQ rettangolo

DIMOSTRAZIONE:
considero i triangoli MBN e PDQ:
MB=DP per IP.
BN=DQ per IP.
$hat(MBN)=hat(PDQ)$ perchè angoli retti
I due triangoli rettangoli MBN e PDQ sono congruenti. In particolare MN=PQ

considero i triangoli AMQ e CNP:
AM=CP per differenza di segmenti congruenti
AQ=CN per differenza di segmenti congruenti
$hat(MAQ)=hat(NCP)$ perchè angoli retti
I due triangoli rettangoli AMQ e CNP sono congruenti. In particolare MQ=NP

Ora non sono più capace di continuare.

[Luca.Lussardi]

Concludere la prima parte è immediato: osserva quanto valgono, per esempio, gli angoli $AMQ$ e $BMN$.

Quanto al perimetro chiama $a$ la misura di $AB$ e $x$ la misura di $BM$; allora il peirmetro di $MNPQ$ vale $2(a-x)\sqrt 2+2x\sqrt 2=...$

[@melia]

Per il perimetro, siccome suppongo che nelle prime dimostrazioni di geometria sintetica non sia permesso l'uso di simboli algebrici, puoi dimosttrare che il perimetro del rettangolo è sempre il doppio della diagonale del quadrato.

[Gufo941]

"@melia":siccome suppongo che nelle prime dimostrazioni di geometria sintetica non sia permesso l'uso di simboli algebrici

E' vero!