Dimostrazione geometria
Vorrei dimostrare che un poligono con $n$ lati ha anche $n$ vertici.
Avevo pensato di farlo con il teorema di Eulero per i poliedri che dice che per un poliedro semplicemente connesso si ha:
$F-S+V=2$ dove $F$ è il numero di facce, $S$ è il numero di spigoli e $V$ il numero di vertici.
Ora però mi domando: se invece di un poliedro ho soltanto un poligono di $n$ lati dovrei avere $F=1$ e $S=n$ e quindi non torna.
Dove sbaglio? Forse il teorema di Eulero vale solo per i solidi e non può restringersi al caso di figure piane?
Avevo pensato di farlo con il teorema di Eulero per i poliedri che dice che per un poliedro semplicemente connesso si ha:
$F-S+V=2$ dove $F$ è il numero di facce, $S$ è il numero di spigoli e $V$ il numero di vertici.
Ora però mi domando: se invece di un poliedro ho soltanto un poligono di $n$ lati dovrei avere $F=1$ e $S=n$ e quindi non torna.
Dove sbaglio? Forse il teorema di Eulero vale solo per i solidi e non può restringersi al caso di figure piane?
Risposte
Ciao,
premetto che non sono sicuro di quello che sto per dire, quindi prendilo con il beneficio del dubbio!
Forse devi pensare che $F=2$, dato che una forma bidimensionale la puoi pensare come un solido di spessore infinitesimo, ma comunque con due facce (ad es. le due facce di un foglio di carta). Così avresti \[2-S+V=2 \quad\Rightarrow\quad S=V\] e tutto tornerebbe.
Comunque aspetta conferma!
premetto che non sono sicuro di quello che sto per dire, quindi prendilo con il beneficio del dubbio!
Forse devi pensare che $F=2$, dato che una forma bidimensionale la puoi pensare come un solido di spessore infinitesimo, ma comunque con due facce (ad es. le due facce di un foglio di carta). Così avresti \[2-S+V=2 \quad\Rightarrow\quad S=V\] e tutto tornerebbe.
Comunque aspetta conferma!
Ciao, grazie della risposta.
Ci avevo pensato anch'io però non mi torna tanto in quanto per definizione la faccia di un poliedro dovrebbe essere uno dei poligoni che costituiscono il poliedro, quindi in teoria dovrei averne uno solo...
Ci avevo pensato anch'io però non mi torna tanto in quanto per definizione la faccia di un poliedro dovrebbe essere uno dei poligoni che costituiscono il poliedro, quindi in teoria dovrei averne uno solo...
Infatti te l'ho detto che ho dei dubbi!
Nel momento in cui si accetta che un poligono e' un poliedro di spessore nullo non vedo contraddizioni; d'altra parte un poligono nello spazio 3d HA due facce.
considera che la dimostrazione della formula dei poliedri parte dall'eliminazione di una faccia per ricondursi a riportare la superficie in un piano, quindi per il poligono dovresti aggiungere una faccia.
temo però che non sia sufficiente come dimostrazione, perché è proprio la formula di Eulero che usa le proprietà dei poligoni...
temo però che non sia sufficiente come dimostrazione, perché è proprio la formula di Eulero che usa le proprietà dei poligoni...
Allora non so, forse si potrebbe provare per induzione sul numero dei lati, considerando un poligono con $n+1$ lati come l'unione di di un poligono con $n$ lati e di un triangolo.
Per ipotesi induttiva il poligono con $n$ lati ha anche $n$ vertici, il triangolo ha $3$ vertici di cui $2$ coincidono con i vertici del poligono con $n$ lati, quindi il mio poligono con $n+1$ lati ha $n+3-2=n+1$ vertici.
Secondo voi funziona?
Per ipotesi induttiva il poligono con $n$ lati ha anche $n$ vertici, il triangolo ha $3$ vertici di cui $2$ coincidono con i vertici del poligono con $n$ lati, quindi il mio poligono con $n+1$ lati ha $n+3-2=n+1$ vertici.
Secondo voi funziona?
Sì, mi pare di ricordare che si dimostra proprio così.
Passo base: $n=3$ basta contare per vedere che e' vero
Passo induttivo: ho un poligono con $n+1$ lati , se $A$, $B$ e $C$ sono tre vertici consecutivi collego tra loro $A$ e $C$ ed ottengo un poligono di $n$ lati con $n$ vertici a cui aggiungo $B$ ed il passo e' dimostrato
Passo base: $n=3$ basta contare per vedere che e' vero
Passo induttivo: ho un poligono con $n+1$ lati , se $A$, $B$ e $C$ sono tre vertici consecutivi collego tra loro $A$ e $C$ ed ottengo un poligono di $n$ lati con $n$ vertici a cui aggiungo $B$ ed il passo e' dimostrato
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