Dimostrazione generale 'angolo aggiunto'

[anto_zoolander]

Ciao e auguri

Siccome non trovo da nessuna parte la dimostrazione generale dell'angolo aggiunto, volevo vedere se così fosse corretta.

voglio dimostrare che:

$asinalpha pm bcosalpha = Asin(alpha pm beta)$

intanto quantifichiamo un po' le cose.

$a,b,AinRR_(0)^+$ e scegliamo $betanekpi/2, kinZZ$

la prima è una condizione che ci servirà per il sistema.
Inoltre perché considerarli negativi non ci serve a niente, di fatto le formule di addizione e sottrazione ci permettono di non tenere conto del segno.

la seconda, come tra poco si vedrà, ci serve per diretta conseguenza della prima condizione, ovvero che i $a,b,A$ siano non nulli.

sviluppo il secondo membro

$asinalpha pm bcosalpha = Asinalphacosbeta pm Acosalphasinbeta$

e notiamo la seguente cosa $underbrace{Acosbeta}_a sinalpha pm underbrace{Asinbeta}_b cosalpha$

quindi impostiamo il sistema:

\begin{equation}
\begin{cases}
A\cos\beta=a\\A\sin\beta=b
\end{cases}
\end{equation}

poiché non negativi possiamo elevarli al quadrato e poi sommarli membro a membro ottenendo

$A^2=a^2+b^2 <=> A=sqrt(a^2+b^2)$ naturalmente $AinRR_(0)^+$ quindi lo prendiamo solo positivo

inoltre poiché non nulli possiamo dividere membro a membro

$sinbeta/cosbeta = b/a <=> tanbeta = b/a <=> beta = arctan(b/a)$

quindi in generale otteniamo:

$asinalpha pm bcosalpha = sqrt(a^2+b^2)sin(alpha pm arctan(b/a))$

ho escluso i casi $b=0$ e $a=0$ per i seguenti motivi(oltre che per problemi di elevamento al quadrato e divisione)

per $a=0$

$0 pm bcosalpha = sqrt(0 + b^2)sin(alpha pm arctan(b/0))$

$pm bcosalpha = bsin(alpha pm pi/2)$ che è il caso banale

per $b=0$

$asinalpha pm 0 = sqrt(a^2 + 0)sin(alpha pm arctan(0/a))$

$asinalpha = asinalpha$ che è un altro caso banale

considerazioni analoghe varrebbero per il coseno.
Fatemi sapere, per favore

PS
conoscete delle dispense o un qualunque posto, dove ci sono le dimostrazioni di tutte le relazioni delle funzioni goniometriche inverse?