Dimostrazione formule di sdoppiamento ellisse?
Mi servirebbe la dimostrazione delle formule di sdoppiamento per quanto riguarda l'ellisse, anche traslata se possibile, perchè ho provato a farla considerando il sistema tra y-y0=m(x-x0) e l'equazione dell'ellisse traslata ma non mi riesce.. Grazie in anticipo!
Risposte
Speravo che ti rispondesse qualcuno più in gamba di me, magari con un link alla soluzione già confezionata. Poiché non è successo, ti mando il modo in cui lo dimostrerei io. Mi riferisco non alla sola ellisse ma ad una conica qualsiasi.
Caso particolare: la conica passa per l'origine e vogliamo la tangente nell'origine.
L'equazione della generica conica passante per l'origine manca del termine noto e quindi è
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0$
Intersecandola con la retta $y=mx$ ottengo
$x^2(a+bm+cm^2)+x(d+me)=0$
il cui discriminante è nullo se
$d+me=0->m=-d/e$
La tangente cercata è quindi
$y=-d/e x->dx+ey=0$
In altri termini, l'equazione della tangente cercata è data dall'annullarsi dei termini di primo grado. Supponiamo che ce ne siano; in caso contrario la conica sarebbe degenere.
Caso generale
La generica conica ha equazione
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e vogliamo la tangente in un suo punto $P(u,v)$. Poiché $P$ sta sulla conica avremo
(*) $au^2+buv+cv^2+du+ev+f=0$
Effettuiamo la traslazione che porta il punto nell'origine, cioè
${(x=X+u),(y=Y+v):}$
e facciamo i calcoli: la somma dei termini noti deve annullarsi e infatti è il primo membro della (*), mentre (per il caso particolare) la tangente cercata è data dall'annullarsi dei termini di primo grado e quindi è
$2auX+b(vX+uY)+2cvY+dX+eY=0$
Dividiamo per 2, torniamo alle coordinate originali e sommiamo la (*):
$au(x-u)+b/2[v(x-u)+u(y-v)]+cv(y-v)+d/2(x-u)+e/2(y-v)+au^2+buv+cv^2+du+ev+f=0$
Facciamo i calcoli, ordinando secondo le lettere $a,b,c...$: otteniamo la formula dello sdoppiamento.
Caso particolare: la conica passa per l'origine e vogliamo la tangente nell'origine.
L'equazione della generica conica passante per l'origine manca del termine noto e quindi è
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0$
Intersecandola con la retta $y=mx$ ottengo
$x^2(a+bm+cm^2)+x(d+me)=0$
il cui discriminante è nullo se
$d+me=0->m=-d/e$
La tangente cercata è quindi
$y=-d/e x->dx+ey=0$
In altri termini, l'equazione della tangente cercata è data dall'annullarsi dei termini di primo grado. Supponiamo che ce ne siano; in caso contrario la conica sarebbe degenere.
Caso generale
La generica conica ha equazione
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e vogliamo la tangente in un suo punto $P(u,v)$. Poiché $P$ sta sulla conica avremo
(*) $au^2+buv+cv^2+du+ev+f=0$
Effettuiamo la traslazione che porta il punto nell'origine, cioè
${(x=X+u),(y=Y+v):}$
e facciamo i calcoli: la somma dei termini noti deve annullarsi e infatti è il primo membro della (*), mentre (per il caso particolare) la tangente cercata è data dall'annullarsi dei termini di primo grado e quindi è
$2auX+b(vX+uY)+2cvY+dX+eY=0$
Dividiamo per 2, torniamo alle coordinate originali e sommiamo la (*):
$au(x-u)+b/2[v(x-u)+u(y-v)]+cv(y-v)+d/2(x-u)+e/2(y-v)+au^2+buv+cv^2+du+ev+f=0$
Facciamo i calcoli, ordinando secondo le lettere $a,b,c...$: otteniamo la formula dello sdoppiamento.
Grazie mille ! Proverò a rifarla col tuo metodo 
In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.
"madmath":
In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.
Lascia stare, hai sbagliato area. Qui stiamo parlando di scuola secondaria.
"@melia":
Lascia stare, hai sbagliato area. Qui stiamo parlando di scuola secondaria.
Non ne sarei così sicuro, ...
"madmath":
... Effettivamente io tendo a sviluppare una didattica da triennale universitaria (dato il livello pietoso dell'università italiana...) già in prima superiore ...
Non avevo letto la frase citata (evidentemente postata altrove). e cioè
In sé, sarebbe un'ottima cosa, ma gli allievi riescono a seguire? Ad esempio, vediamo qui: secondo me, un allievo che non abbia mai sentito nominare le derivate non può capire le frasi
"madmath":
... Effettivamente io tendo a sviluppare una didattica da triennale universitaria (dato il livello pietoso dell'università italiana...) già in prima superiore ...
In sé, sarebbe un'ottima cosa, ma gli allievi riescono a seguire? Ad esempio, vediamo qui: secondo me, un allievo che non abbia mai sentito nominare le derivate non può capire le frasi
In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.
"madmath":
In generale la retta tangente ha equazione A(x-a)+B(y-b) dove P(a,b) è il punto di tangenza,
A e B rappresentano le derivate parziali calcolate nel punto di tangenza P.
Ma quella scritta non è l’equazione di una retta... Al massimo è un polinomio in due variabili.
Penso che madmath intendesse
$A(x-a)+B(y-b)=0$
Ma la mia domanda da raddrizzatore di banane è: cosa significa "sdoppiamento di una conica"?
Grazie in anticipo a chi vorrà colmare questa mia lacuna.
Marco
$A(x-a)+B(y-b)=0$
Ma la mia domanda da raddrizzatore di banane è: cosa significa "sdoppiamento di una conica"?
Grazie in anticipo a chi vorrà colmare questa mia lacuna.
Marco
"teorema55":
Ma la mia domanda da raddrizzatore di banane è: cosa significa "sdoppiamento di una conica"?
Significa che inizialmente ogni lettera viene pensata scritta due volta, e quindi raddoppiata. Nel caso più generale, una conica ha equazione
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
e raddoppiamo le lettere pensandola scritta come
$ax*x+b/2(xy+xy)+cy*y+d/2(x+x)+e/2(y+y)+f=0$
Ora sdoppiamo, sostituendo ad una delle x la x del punto, e così per y, con la precisazione che nel pezzo con $xy$ le due sostituzioni vanno fatte una per addendo. Se il punto è $P(u,v)$ otteniamo
$au*x+b/2(uy+xv)+cv*y+d/2(x+u)+e/2(y+v)+f=0$
Ti faccio presente che non ho fatto ipotesi sulla posizione di P, che può essere in punto qualsiasi; in ogni caso ottieni l'equazione di una retta, che è detta la polare di P rispetto a quella conica. Le polari hanno proprietà particolari, che si studiano a livello universitario; nelle superiori di solito ci si limita a dire che se P sta sulla conica, la sua polare è la tangente in P.
In qualche caso particolare, la polare ha un'equazione senza incognite (e quindi indeterminata o impossibile), ma anche questo è argomento universitario.
Grazie Gian, sei stato molto gentile e, soprattutto, esauriente.
Marco
Marco
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