Dimostrazione estremo superiore

[oltreoceano90]

come faccio a dimostrare che dire che: l'estremo superiore equivale al più piccolo dei maggioranti è uguale a dire che dato un insieme ordinato A di numeri reali, S è l'estremo superiore di A (supA=S) se a<=S per ogni a appartenente ad A e per ogni numero intero positivo $\epsilon$ esiste almeno un elemento $a_epsilon in A$ tale che $S-epsilon$<$a_epsilon$???

[Gatto891]

Le equivalenze logiche sono:

$S$ è un maggiorante <=> $a <= s \forall a \in A$, che segue proprio dalla definizione di maggiorante.

S è il più piccolo dei maggioranti <=> $\forall \varepsilon$, esiste $a_0 \in A t.c. S-\varepsilon < a_0$. Supponiamo per assurdo che non esista $a_0 \in A$ che verifica quella condizione, allora $S >= a \forall a \in A$. da cui segue, poichè $S - \varepsilon < S$, che esiste un maggiorante minore di S, quindi S non è il più piccolo dei maggioranti.