Dimostrazione: equazioni fascio circonferenze tang a retta
Buongiorno. Non sono in grado di dimostrare che due diverse equazioni rappresentano lo stesso fascio di circonferenze richieste come soluzione di un problema. Empiricamente ho provato ad assegnare gli stessi valori di x e y e ne risulta che possono essere valide assegnando però all'incognita "t" un diverso valore secondo le due diverse equazioni.
Vi mostro i dati :
- il problema : scrivere l'equazione del fascio di circonf tangenti alla retta r ( $x+2y-5=0$ ) nel suo punto A "$(1,2)$".
- la prima soluzione è stata ottenuta aggiungendo alla circ degenere della retta "r" , l'equazione che si ottiene mediante la normale "n" vs la retta "r" individuando una circonf passante per origine e raggio= $root(2)(5)$, che risulta $x^2+y^2=5$ - l'equazione finale è quindi questa
$x^2+y^2-5+t(x+2y-5)=0$
- la seconda soluzione si basa sulla formula immediata cioè:
$(x-1)^2+(y-2)^2+t(x+2y-5)=0$
Vorreste aiutarmi (forse basterebbe sapere dove vedere la dimostrazione della formula "immediata"). Grazie anticipatamente e buona giornata.
Vi mostro i dati :
- il problema : scrivere l'equazione del fascio di circonf tangenti alla retta r ( $x+2y-5=0$ ) nel suo punto A "$(1,2)$".
- la prima soluzione è stata ottenuta aggiungendo alla circ degenere della retta "r" , l'equazione che si ottiene mediante la normale "n" vs la retta "r" individuando una circonf passante per origine e raggio= $root(2)(5)$, che risulta $x^2+y^2=5$ - l'equazione finale è quindi questa
$x^2+y^2-5+t(x+2y-5)=0$
- la seconda soluzione si basa sulla formula immediata cioè:
$(x-1)^2+(y-2)^2+t(x+2y-5)=0$
Vorreste aiutarmi (forse basterebbe sapere dove vedere la dimostrazione della formula "immediata"). Grazie anticipatamente e buona giornata.
Risposte
La prima forma $x^2+y^2-5+t(x+2y-5)=0$ combina la retta con la circonferenza di raggio $sqrt(5)$ e centro nell'origine
La seconda $(x-1)^2+(y-2)^2+t(x+2y-5)=0$ utilizza la circonferenza di raggio 0 e centro nel punto di tangenza
Vanno bene tutte e due, e potresti trovarne anche tante altre.
La seconda $(x-1)^2+(y-2)^2+t(x+2y-5)=0$ utilizza la circonferenza di raggio 0 e centro nel punto di tangenza
Vanno bene tutte e due, e potresti trovarne anche tante altre.
Ciao - grazie della risposta, ma il mio quesito era di poter dimostrare che le due equazioni si equivalgono mentre a prima vista sembrerebbe di no. Quindi chiedevo come poterlo dimostrare .... e/o dove trovare la dimostrazione della formula "veloce" (la seconda).
Per vedere l'equivalenza delle due forme basta vedere che, presa una generica circonferenza del primo fascio
$x^2+y^2-5 + T(x + 2y -5) =$
$ x^2 + y^2 + Tx + 2Ty -5(T + 1) = 0$
si può trovare una circonferenza del secondo fascio
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + t(x + 2y -5) =$
$ x^2 -2x +1 + y^2 - 4y + 4 + tx + 2ty - 5t = $
$x^2 + y^2 + (t-2)x + 2(t-2)y + 5(1 - t) = 0$
che coincide con questa. Se vede che i due polinomi coincidono se
$T = t-2$
$2T = 2(t-2) -> T = t-2$
$-5(T+1) = 5(1-t) -> T = t-2$
$x^2+y^2-5 + T(x + 2y -5) =$
$ x^2 + y^2 + Tx + 2Ty -5(T + 1) = 0$
si può trovare una circonferenza del secondo fascio
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + t(x + 2y -5) =$
$ x^2 -2x +1 + y^2 - 4y + 4 + tx + 2ty - 5t = $
$x^2 + y^2 + (t-2)x + 2(t-2)y + 5(1 - t) = 0$
che coincide con questa. Se vede che i due polinomi coincidono se
$T = t-2$
$2T = 2(t-2) -> T = t-2$
$-5(T+1) = 5(1-t) -> T = t-2$
Grazie mille. Ora la studio per bene (non sono una cima purtroppo). Buona domenica e grazie di nuovo.
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