Dimostrazione disequazione

[rekotc]

ciao a tutti, sto cercando invano di dimostrare la seguente affermazione:

se $0<=x<=1$ allora vale:

$1+(x/2)<=e^(x/2)<=1+x$

è la prima parte di una dimostrazione, per adesso sto dando per scontato quanto scritto sopra e proseguendo nella seconda parte, ma già la prima è problematica..

[@melia]

Per la prima parte della disuguaglianza la faccenda è abbastanza semplice perché $y=1/2 x+1$ è la tangente in $0$ alla funzione $y=e^(x/2)$ e che, essendo la funzione convessa, la tangente sta sotto alla funzione. La seconda parte è più complicata, ma basta osservare che le due funzioni $y=e^(x/2)$ e $y=x+1$ si intersecano in $0$ e in un punto compreso tra $3/2$ e $2$, quindi nell'intervallo che ti interessa la retta sta sopra alla funzione.

[rekotc]

hai ragione!...in effetti stavo cercando di dimostrarlo analiticamente e la cosa non sembrava funzionare granchè.. grazie!
visto che ci siamo faccio anche un'altra richiesta, la seconda parte della dimostrazione mi sembra più problematica ancora, spero qualcuno possa aiutarmi.

nel testo trovo scritto subito dopo che: (x è sempre nell'intervallo 0-1 in quanto si tratta di una probabilità, k invece è una costante > 0 )

$(1+x/(2*k))^k <= e^(x/2) <= 1+ x$

e mi pare quindi di dover dimostrare che:

$(1+x/(2*k))^k <= 1+x/2$

per far si che valga quanto scritto, solo che non riesco, non so forse perchè sto cercando di dimostrare qualcosa che non c'entra niente.

grazissime!