Dimostrazione di un limite notevole (e^x-1)/x
Buonasera,
vorrei dimostrare il limite per \(\displaystyle \lim x -> 0 [(e^x)-1)/x)]= 1\) (se qualcuno poi mi spiega come usare le formule lo ringrazio: sono impedito).
Una dimostrazione immediata è porre y=((e^x)-1)) e andare avanti di conseguenza.
Tuttavia mi chiedevo se è possibile procedere in questo modo:
Scrivo \(\displaystyle e \) come lim x--> 0 ((1+x)^(1/x)) (quella che si studia al liceo come definizione di \(\displaystyle e \)). Lo inserisco nel limite come ([(1+x)^(1/x)]^x-1)/x (ho sostituito a \(\displaystyle e \) quello che c'è nelle parentesi quadre). Dato che il limite tende a zero, il contenuto delle parentesi quadre tende a \(\displaystyle e \) e ci si riconduce al limite da dimostrare. In questo modo, si può semplificare il limite, riducendolo a lim x--> 0 (1)=1.
Ha senso o ci sono dei passaggi scorretti, secondo voi?
Se mi spiegate come scrivere le formule, chiarisco un po' le cose...
Grazie comunque!
vorrei dimostrare il limite per \(\displaystyle \lim x -> 0 [(e^x)-1)/x)]= 1\) (se qualcuno poi mi spiega come usare le formule lo ringrazio: sono impedito).
Una dimostrazione immediata è porre y=((e^x)-1)) e andare avanti di conseguenza.
Tuttavia mi chiedevo se è possibile procedere in questo modo:
Scrivo \(\displaystyle e \) come lim x--> 0 ((1+x)^(1/x)) (quella che si studia al liceo come definizione di \(\displaystyle e \)). Lo inserisco nel limite come ([(1+x)^(1/x)]^x-1)/x (ho sostituito a \(\displaystyle e \) quello che c'è nelle parentesi quadre). Dato che il limite tende a zero, il contenuto delle parentesi quadre tende a \(\displaystyle e \) e ci si riconduce al limite da dimostrare. In questo modo, si può semplificare il limite, riducendolo a lim x--> 0 (1)=1.
Ha senso o ci sono dei passaggi scorretti, secondo voi?
Se mi spiegate come scrivere le formule, chiarisco un po' le cose...
Grazie comunque!
Risposte
Trovi un rimando alla guida per scrivere le formule nel riquadro rosa in alto. Ad esempio, per ottenere
$lim_(x->0)(e^x-1)/x$
devi mettere il segno del dollaro all'inizio ed alla fine di lim_(x->0)(e^x-1)/x ; per vedere il risultato devi passare in Anteprima. Evita il tasto MathJax: usandolo bisogna scrivere le formule in modo un po' diverso. Un buon metodo per imparare è anche usare il tasto CITA per vedere cosa hanno digitato gli altri.
Quanto al tuo problema, scrivendo quella formula al posto di $e$ hai implicitamente ammesso che le due cose siano uguali, cioè hai accettato che sia
$e=(1-x)^(1/x)$
ma, per $x->0$, le due cose sono uguali solo approssimativamente e c'è il rischio che quell'approssimazione falsi il risultato. Ne consegue che la tua dimostrazione non è accettabile, anche se lodo il tuo impegno.
$lim_(x->0)(e^x-1)/x$
devi mettere il segno del dollaro all'inizio ed alla fine di lim_(x->0)(e^x-1)/x ; per vedere il risultato devi passare in Anteprima. Evita il tasto MathJax: usandolo bisogna scrivere le formule in modo un po' diverso. Un buon metodo per imparare è anche usare il tasto CITA per vedere cosa hanno digitato gli altri.
Quanto al tuo problema, scrivendo quella formula al posto di $e$ hai implicitamente ammesso che le due cose siano uguali, cioè hai accettato che sia
$e=(1-x)^(1/x)$
ma, per $x->0$, le due cose sono uguali solo approssimativamente e c'è il rischio che quell'approssimazione falsi il risultato. Ne consegue che la tua dimostrazione non è accettabile, anche se lodo il tuo impegno.
"giammaria":
Trovi un rimando alla guida per scrivere le formule nel riquadro rosa in alto. Ad esempio, per ottenere
$lim_(x->0)(e^x-1)/x$
devi mettere il segno del dollaro all'inizio ed alla fine di lim_(x->0)(e^x-1)/x ; per vedere il risultato devi passare in Anteprima. Evita il tasto MathJax: usandolo bisogna scrivere le formule in modo un po' diverso. Un buon metodo per imparare è anche usare il tasto CITA per vedere cosa hanno digitato gli altri.
Ciao, grazie mille della risposta!
"giammaria":
Quanto al tuo problema, scrivendo quella formula al posto di $e$ hai implicitamente ammesso che le due cose siano uguali, cioè hai accettato che sia $e=(1-x)^(1/x)$
Ma infatti io voglio accettare che sia, per x che tende a zero logicamente, $e=(1-x)^(1/x)$ (diciamo che la prendo come definizione di $e$)
"giammaria":
ma, per $x->0$, le due cose sono uguali solo approssimativamente e c'è il rischio che quell'approssimazione falsi il risultato.
Cosa intendi per "sono solo approssimativamente uguali"?
Con calcoli che forse per ora non ti sarebbero chiari si trova che, per $x->0$,
$(1+x)^(1/x)=e-e/2x+("addendi con potenze di "x)$
Come vedi, gli addendi dopo $e$ tendono a zero e quindi quella potenza tende ad $e$; c'è però una discreta probabilità che non sia trascurabile almeno il $-e/2x$.
$(1+x)^(1/x)=e-e/2x+("addendi con potenze di "x)$
Come vedi, gli addendi dopo $e$ tendono a zero e quindi quella potenza tende ad $e$; c'è però una discreta probabilità che non sia trascurabile almeno il $-e/2x$.
Ok ho capito grazie. Ora però voglio ragionare immaginando di non conoscere o non voler usare gli sviluppi in serie (che so cosa sono a grandi linee ma non ho mai studiato).
Voglio dire, se scrivo $lim_(x->1) ((x^2-4x+3)/x^3)$ lo posso riscrivere come $lim_(x->1) ((1-4+3)/1)$ perché $lim_(x->1) (x^2)=1$ eccetera. Allo stesso modo, sembrerebbe evidente poter scrivere $lim_(x->0)((senx)/x+x)^(1/x)$ come $lim_(x->0) (1+x)^(1/x)$ (e infatti il risultato è il medesimo) dal momento che $lim_(x->0) ((senx)/x)=1$.
Però, se è sbagliato sostituire $e$ a $(1+x)^(1/x)$, allora è sbagliato anche quest'altro procedimento all'apparenza banale e evidente?
Voglio dire, se scrivo $lim_(x->1) ((x^2-4x+3)/x^3)$ lo posso riscrivere come $lim_(x->1) ((1-4+3)/1)$ perché $lim_(x->1) (x^2)=1$ eccetera. Allo stesso modo, sembrerebbe evidente poter scrivere $lim_(x->0)((senx)/x+x)^(1/x)$ come $lim_(x->0) (1+x)^(1/x)$ (e infatti il risultato è il medesimo) dal momento che $lim_(x->0) ((senx)/x)=1$.
Però, se è sbagliato sostituire $e$ a $(1+x)^(1/x)$, allora è sbagliato anche quest'altro procedimento all'apparenza banale e evidente?
Con il tuo stesso ragionamento, sembrerebbe di poter dire che
poiché $lim_(x->0)(e^x-1)/x=1$ allora $lim_(x->0)((e^x-1)/x+x)^(1/x)=e$
mentre in realtà il risultato dell'ultimo limite è $e^(3/2)=4,48...$ (lo puoi controllare col teorema di De l'Hospital oppure con la calcolatrice, dando ad $x$ un valore piccolo). Nel tuo esempio con il seno venivano trascurati infinitesimi di ordine superiore, mentre qui ci sono degli infinitesimi non trascurabili: senza un'accurata considerazione su quali infinitesimi sono trascurabili è meglio non trascurarne nessuno. (Un professore di italiano mi rimproverebbe per le ripetizioni, ma io trovo che in matematica spesso rendono più chiare le frasi.)
Regola generale: un limite va calcolato tutto assieme e non è lecito semplificare i calcoli calcolandone solo una parte (a meno che ci siano teoremi che lo consentano, ad esempio che si tratti del limite di un prodotto). Può però capitare che anche con quell'illecito si ottenga il risultato giusto, come appunto nel tuo esempio ma non nel mio.
poiché $lim_(x->0)(e^x-1)/x=1$ allora $lim_(x->0)((e^x-1)/x+x)^(1/x)=e$
mentre in realtà il risultato dell'ultimo limite è $e^(3/2)=4,48...$ (lo puoi controllare col teorema di De l'Hospital oppure con la calcolatrice, dando ad $x$ un valore piccolo). Nel tuo esempio con il seno venivano trascurati infinitesimi di ordine superiore, mentre qui ci sono degli infinitesimi non trascurabili: senza un'accurata considerazione su quali infinitesimi sono trascurabili è meglio non trascurarne nessuno. (Un professore di italiano mi rimproverebbe per le ripetizioni, ma io trovo che in matematica spesso rendono più chiare le frasi.)
Regola generale: un limite va calcolato tutto assieme e non è lecito semplificare i calcoli calcolandone solo una parte (a meno che ci siano teoremi che lo consentano, ad esempio che si tratti del limite di un prodotto). Può però capitare che anche con quell'illecito si ottenga il risultato giusto, come appunto nel tuo esempio ma non nel mio.
Il controesempio non lo controllo nemmeno perché mi fido, comunque per ora mi basta quello per capire che ho sbagliato e non pretendo di andare ulteriormente a fondo nella questione, o al massimo penserò un po' alla questione degli infinitesimi.. Grazie mille di tutto, non so come tu abbia la pazienza di risponderci 
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