Dimostrazione di un limite notevole

[gcappellotto]

Ho provato a dimostrare il limite notevole lim x->0 [ln(x+1)]/x = 1, nel seguente modo:

ho sostituito x=1/t t diverso da 0 ho riscritto il limite : lim t->inf [(1/t)+1]^t = e lim t->inf ln e = 1

Non sono sicuro che questa sia una dimostarzione corretta !!
Sono a chiedere cortesemente un suo parere.

Grazie e cordiali saluti
Giovanni Cappellotto

[Sk_Anonymous]

"gcappellotto":lim t->inf [(1/t)+1]^t = e lim t->inf ln e = 1

Sì, è corretto. Purché sia chiaro che il passaggio qui sopra consegue dalla continuità della funzione logaritmo...

[giacor86]

vabbè sennò fai lo sviluppo di taylor per x->0 di ln(1+x). lo arresti anche solo al prim'ordine che se non sbaglio è x e così semplifichi e rimane 1

[fireball1]

Dunque ragioniamo... Per fare Taylor,
ci vogliono le derivate... Per fare le derivate,
ci vogliono i limiti... Per fare i limiti ci vogliono
i limiti notevoli... Quindi, come puoi pensare
di applicare Taylor per dimostrare un limite notevole?

[_admin]

Ha ragione Fireball, la struttura logica della matematica richiede che si parta da qualche parte per arrivare da un'altra parte.
Tuttavia, come esercitazione, e quindi come esercizio per applicare Taylor può andare.
Non va bene se in una prova scritta o durante l'esame il prof. ti chiede di dimostrare quel limite notevole.

[fireball1]

Infatti per poter usare Taylor devi sapere
che cosa è una derivata... E per dimostrare
che la derivata di $logx$ è $1/x$ hai bisogno
di quel limite notevole... Come un cane che gira
su se stesso cercando di mordersi la coda.

[fireball1]

"gcappellotto":
ho sostituito x=1/t t diverso da 0 ho riscritto il limite : lim t->inf [(1/t)+1]^t = e lim t->inf ln e = 1

Un altro modo è il seguente:

$lim_(x->0) log(1+x)/x=lim_(x->0) 1/x log(1+x) = lim_(x->0) log((1+x)^(1/x)) = loge=1$

stante che si sappia che $lim_(x->0) (1+x)^(1/x) = e$ (e questo a sua volta si dimostra operando la sostituzione $1/x=t$).

[giacor86]

peso... con taylor si faceva prima però

[wedge]

vi propongo di dimostrare che il limite per x--->0 di sinx/x è 1...
senza usare McLaurin ovviamente...
magari conosciamo dimostrazioni diverse, quella che so io è abbastanza carina

[cavallipurosangue]

Per le disuguaglianze triangolari si ha:
$\sinx1cosx Per il teorema dei carabinieri si ha che:
$lim_{x\to_0}sinx/x=1$
dato che:
$\lim_{x\to0}cosx=1$ e $\lim_{x\to0}1=1$

Era questa?

[Sk_Anonymous]

de l'Hospital

[giacor86]

io ne studiai una geometrica ai tempi del liceo. de l'hopital non credo che vada bene per lo stesso discorso di prima. de l'hopital = derivate, derivata del seno = limite notevole del seno. quindi non si può dimostrare il limite con de l'hopital

[Sk_Anonymous]

e perchè la derivata non è un concetto geometrico?

e poi non vedo alcun gatto!

[Sk_Anonymous]

gatto? farnetico ehm volevo dire cane.

[Sk_Anonymous]

cioè, mi spiego, quello che volevo dire ieri sera, è che allora de l'Hopital non si può mai applicare: la cosa si può dimostrare così:

"per ogni forma indeterminata esiste sempre cane $in$ Università t.c. ad un esame non va bene fare così" da cui la tesi.