Dimostrazione di iniettività
Buongiorno a tutti.
Il problema è il seguente: devo dimostrare se $f:NN X NN rarr NN $ data da $f(n,m)=nm$ è iniettiva, suriettiva o biunivoca.
Quindi:
HP) $f(n,m)=f(\bar n, \bar m)$
TS) $(n,m)=(\bar n, \bar m)$
Ma:
$nm=\bar n * \bar m$ è vera se $n=\bar n$ e $m=\bar m$ che sarebbe la mia tesi.
Però la funzione sbaglio o non è iniettiva?
$(3,2)=6$ ma anche $(1,6)=6$
Grazie
Il problema è il seguente: devo dimostrare se $f:NN X NN rarr NN $ data da $f(n,m)=nm$ è iniettiva, suriettiva o biunivoca.
Quindi:
HP) $f(n,m)=f(\bar n, \bar m)$
TS) $(n,m)=(\bar n, \bar m)$
Ma:
$nm=\bar n * \bar m$ è vera se $n=\bar n$ e $m=\bar m$ che sarebbe la mia tesi.
Però la funzione sbaglio o non è iniettiva?
$(3,2)=6$ ma anche $(1,6)=6$
Grazie
Risposte
"Pozzetto":No, non è vera.
$nm=\bar n * \bar m$ è vera se $n=\bar n$ e $m=\bar m$ che sarebbe la mia tesi.
E spieghi tu stesso perchè:
"Pozzetto":
$(3,2)=6$ ma anche $(1,6)=6$
Dunque la funzione non è iniettiva
Ma come dimostro senza fare esempi numerici?
Puoi dire: sia $k in NN$ maggiore di $1$ fissato.
Presi $n,m in NN$ si ha $f(n,km)=knm=f(kn,m)$, ma ovviamente $n!=kn$ e $m!=km$
Presi $n,m in NN$ si ha $f(n,km)=knm=f(kn,m)$, ma ovviamente $n!=kn$ e $m!=km$
Molto chiaro, grazie mille.
$f$ però è suriettiva giusto?
non ti dico nè di sì nè di no.
Prova a dimostrare se è suriettiva o meno
Prova a dimostrare se è suriettiva o meno
La mia dimostrazione è questa:
$8inIm(f)$ ovvero $f(n,m)=8$ per $n,m in NN$.
$nm=8$ è sempre vera per alcuni valori di $n,m$.
Giusto?
$8inIm(f)$ ovvero $f(n,m)=8$ per $n,m in NN$.
$nm=8$ è sempre vera per alcuni valori di $n,m$.
Giusto?
guarda che devi dimostrare che $AA a in NN$ esistono $n,m in NN$ tali che $f(n,m)=a$
Ok, io ho preso $8$ come esempio ma la moltiplicazione tra due naturali mi porta a raggiungere ogni naturale del codominio.
Non puoi prendere un esempio particolare per dimostrare che una cosa vale in generale.
Altrimenti io ti dico: "tutti i numeri naturali sono pari" e te lo dimostro così: "2 è pari"
Altrimenti io ti dico: "tutti i numeri naturali sono pari" e te lo dimostro così: "2 è pari"
Il problema è che non so come esplicitare la soluzione...
Fissiamo un naturale $a$. Dimmi due numeri naturali $m,n$ tali che il loro prodotto sia $a$
(prendili nel modo più semplice possibile)
(prendili nel modo più semplice possibile)
$1$ e $a$
Esattamente. Ora sei a posto
Ok, perfetto.
Approfitto del topic per chiedere anche un'altra dimostrazione.
$f:NN rarr QQ^(>=0)$ data da $f(n,m)=n/(n+m+1)$ dimostrare se $f$ è iniettiva, suriettiva e biettiva.
Per HP:
$f(n,m)=f(\bar n, \bar m) rArr (n,m)=(\bar n, \bar m)$
Sviluppando ho:
$n(\bar m +1)=\bar n(m+1)$, posso trarre che $n=\bar n$ e che $\bar m=m$ che sarebbe la mia tesi e quindi ho dimostrato l'iniettività?
Approfitto del topic per chiedere anche un'altra dimostrazione.
$f:NN rarr QQ^(>=0)$ data da $f(n,m)=n/(n+m+1)$ dimostrare se $f$ è iniettiva, suriettiva e biettiva.
Per HP:
$f(n,m)=f(\bar n, \bar m) rArr (n,m)=(\bar n, \bar m)$
Sviluppando ho:
$n(\bar m +1)=\bar n(m+1)$, posso trarre che $n=\bar n$ e che $\bar m=m$ che sarebbe la mia tesi e quindi ho dimostrato l'iniettività?
No. Non hai dimostrato niente, se il prodotto di due numeri è uguale al prodotti di altri due, non significa che i fattori siano gli stessi. Infatti $f(2,2)=f(4,5)$, hai solo trovato un modo per individuare rapidamente coppie di numeri con la stessa immagine.
Ok, allora non mi è molto chiaro come procedere.
Avresti qualche dritta almeno per iniziare?
Avresti qualche dritta almeno per iniziare?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo