Dimostrazione di geometria :S
Salve a tutti! Questa dimostrazione di geometria mi sta uccidendo il cervello.
"Si prolunghi la diagonale AC del qudrato ABCD di un segmento CE tale che AE sia doppio di AB. Si conduca poi la distanza EF del punto dalla retta di AB e si dimostri che il triangolo AEF è equivalente al quadrato ABCD.
Allora, ho fatto la figura, ipotesi e tesi. Poi ho detto che per costruzione si ha AF = EF. Poi ho scritto delle equivalenze di triangoli ma non mi hanno portata molto lontano! Come posso procedere?
"Si prolunghi la diagonale AC del qudrato ABCD di un segmento CE tale che AE sia doppio di AB. Si conduca poi la distanza EF del punto dalla retta di AB e si dimostri che il triangolo AEF è equivalente al quadrato ABCD.
Allora, ho fatto la figura, ipotesi e tesi. Poi ho detto che per costruzione si ha AF = EF. Poi ho scritto delle equivalenze di triangoli ma non mi hanno portata molto lontano! Come posso procedere?
Risposte
Devi dimostrare che le due superfici hanno la stessa area.
Detto $l$ il lato del quadrato, hai che $AE=2l$. Quindi cosa puoi concludere su $EF$, e di conseguenza su $AF$?
Tieni conto che il prodotto di queste due lunghezze diviso due ti dà l'area del triangolo.
Detto $l$ il lato del quadrato, hai che $AE=2l$. Quindi cosa puoi concludere su $EF$, e di conseguenza su $AF$?
Tieni conto che il prodotto di queste due lunghezze diviso due ti dà l'area del triangolo.
Si ha che:
$AE=2*AB$ (condizione del problema)
$AB=BC$
Poniamo: $AB=x$
La diagonale si calcola con pitagora e si ottiene:
$ AC = sqrt(x^2+x^2) = sqrt(2*x^2) = x*sqrt(2)$
Osserviamo i triangoli ACB e AEF. Essi hanno l'angolo in A in comune, gli angoli in B e in F sono entrambi di 90 gradi per costruzione. Due triangoli che hanno due angoli uguali sono simili.
Considerando che triangoli simili hanno lati in proporzione, si può scrivere:
$ AB : AF = AC : AE => x : AF = x*sqrt(2) : 2x $
$ BC : EF = AC : AE => x : EF = x*sqrt(2) : 2x $
Risolvendo le due proporzioni si trovano i lati del triangolo.
Ora devi calcolare l'area. Se è uguale a $x^2$ allora le due figure sono congruenti
$AE=2*AB$ (condizione del problema)
$AB=BC$
Poniamo: $AB=x$
La diagonale si calcola con pitagora e si ottiene:
$ AC = sqrt(x^2+x^2) = sqrt(2*x^2) = x*sqrt(2)$
Osserviamo i triangoli ACB e AEF. Essi hanno l'angolo in A in comune, gli angoli in B e in F sono entrambi di 90 gradi per costruzione. Due triangoli che hanno due angoli uguali sono simili.
Considerando che triangoli simili hanno lati in proporzione, si può scrivere:
$ AB : AF = AC : AE => x : AF = x*sqrt(2) : 2x $
$ BC : EF = AC : AE => x : EF = x*sqrt(2) : 2x $
Risolvendo le due proporzioni si trovano i lati del triangolo.
Ora devi calcolare l'area. Se è uguale a $x^2$ allora le due figure sono congruenti
Allora...
AE = 2l. Mmm. Niente non ci arrivo =(. Mi basterebbe dimostrare che ABC è equivalente a BCEF, ma non è possibile dimostrarlo penso.
Sono arrivata a dire che $q(AB)=(q(AE))/2$
Ma non riesco a capire il tuo ragionamento =(. Però non essere troppo esplicito, vorrei arrivarci da sola, anche se penso sia un'impresa =(
AE = 2l. Mmm. Niente non ci arrivo =(. Mi basterebbe dimostrare che ABC è equivalente a BCEF, ma non è possibile dimostrarlo penso.
Sono arrivata a dire che $q(AB)=(q(AE))/2$
Ma non riesco a capire il tuo ragionamento =(. Però non essere troppo esplicito, vorrei arrivarci da sola, anche se penso sia un'impresa =(
Aaaaaaaaaah! Forse ci sono!
Per Pitagora applicato a AEF si ha che $q(AE)=2q(AF)$. Quindi ho disegnato tutto q(AF), ma siccome $q(AF)=q((AE))/2$... No mi sono persa nel mio stesso ragionamento =(
Per Pitagora applicato a AEF si ha che $q(AE)=2q(AF)$. Quindi ho disegnato tutto q(AF), ma siccome $q(AF)=q((AE))/2$... No mi sono persa nel mio stesso ragionamento =(
Ma hai letto il mio intervento?
Si ma non c'è un altro modo? Perché noi non abbiamo ancora fatto la similitudine =(
[tex]\triangle AFE[/tex] è ovviamente un triangolo rettangolo, segnatamente in [tex]F[/tex]. [tex]H[/tex] è il punto medio di [tex]AE[/tex] e per ipotesi è [tex]AH \cong HE \cong AB[/tex]; inoltre [tex]FH \cong AH[/tex] (in ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è congruente alla metà della stessa).
Assunti come base ed altezza di [tex]\triangle AFE[/tex] rispettivamente i segmenti [tex]AE[/tex] ed [tex]FH[/tex], il quadrato [tex]ABCD[/tex] e [tex]\triangle AEF[/tex] sono equivalenti perché hanno la stessa altezza e la base del quadrato è metà di quella del triangolo (cfr. Th.: "Un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che abbia la sua stessa altezza e base congruente a metà di quella del triangolo").
Cosa hai usato per realizzare il disegno? GeoGebra?
mi associo alla domanda precedente, perchè anche a me piacerebbe sapere in che modo è possibile visualizzare qui disegni di quel tipo (ho provato tempo fa ad inserirne uno da Geogebra ma non sono riuscita)
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