Dimostrazione di geometria: circonferenze e tangenti
Data una a circonferenza di centro O, traccia la tangente r alla circonferenza in un suo punto A e la tangente s alla circonferenza in un suo punto B (diverso da A). Una terza tangente t alla circonferenza incontra r e s, rispettivamente, nei punti C e D. Dimostra che:
- se il punto di contatto t con la circonferenza appartiene al minore dei due archi AB, allora CÔD congruente a $1/2$ AÔB;
- se il punto di contatto di t con la circonferenza appartiene al maggiore dei due archi AB, allora CÔD è supplementare di $1/2$ AÔB.
Il primo quesito sono riuscito a risolverlo senza problemi.
Nel secondo invece non so proprio dove metter mano. Ho fatto il disegno ma non posso inviarlo perché non ho memoria nel cell.
Ho un gran bisogno di aiuto è da ieri che ci provo ma non mi è venuta nessuna idea valida.
Anticipatamente grazie
- se il punto di contatto t con la circonferenza appartiene al minore dei due archi AB, allora CÔD congruente a $1/2$ AÔB;
- se il punto di contatto di t con la circonferenza appartiene al maggiore dei due archi AB, allora CÔD è supplementare di $1/2$ AÔB.
Il primo quesito sono riuscito a risolverlo senza problemi.
Nel secondo invece non so proprio dove metter mano. Ho fatto il disegno ma non posso inviarlo perché non ho memoria nel cell.
Ho un gran bisogno di aiuto è da ieri che ci provo ma non mi è venuta nessuna idea valida.
Anticipatamente grazie
Risposte
La prima tesi è quasi immediata:
chiamiamo H il punto di tangenza della retta t. Per i teoremi sulla tangenza, gli angoli AOC e COH sono congruenti tra loro, a allo stesso modo lo sono gli angoli HOD e DOB (rette tangenti da un punto esterno alla circonferenza). Ora, AOB è formato da 2 volte COH e due volte HOD, mentre COD è formato da COH e HOD, il che dimostra la tesi.
Nel secondo caso, tenendo presente lo stesso teorema delle tangenti da un punto esterno, sempre detto H il punto di tangenza della retta t e K il punto di intersezione delle rette r e s, marca con un simbolo diverso le tre coppie di angoli al centro congruenti tra loro, ottenute congiungendo il centro con i punti di intersezione delle tre tangenti: AOK e KOB, BOD e DOH e infine COH e COA. La somma dei 6 angoli è 360°, mentre la somma dei tre angoli diversi è 180°. Ma 1/2 AOB è il supplementare della somma degli altri due (diversi tra loro), proprio quelli che compongono COD, c.v.d.
chiamiamo H il punto di tangenza della retta t. Per i teoremi sulla tangenza, gli angoli AOC e COH sono congruenti tra loro, a allo stesso modo lo sono gli angoli HOD e DOB (rette tangenti da un punto esterno alla circonferenza). Ora, AOB è formato da 2 volte COH e due volte HOD, mentre COD è formato da COH e HOD, il che dimostra la tesi.
Nel secondo caso, tenendo presente lo stesso teorema delle tangenti da un punto esterno, sempre detto H il punto di tangenza della retta t e K il punto di intersezione delle rette r e s, marca con un simbolo diverso le tre coppie di angoli al centro congruenti tra loro, ottenute congiungendo il centro con i punti di intersezione delle tre tangenti: AOK e KOB, BOD e DOH e infine COH e COA. La somma dei 6 angoli è 360°, mentre la somma dei tre angoli diversi è 180°. Ma 1/2 AOB è il supplementare della somma degli altri due (diversi tra loro), proprio quelli che compongono COD, c.v.d.
Ti lascio gli ultimi passaggi...
Geniale
Grazie
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