Dimostrazione di geometria (47357)

[Lovely_pink]

mi potete spiegare qst dimostrazione sui quadrati e e rettangoli:
Sui lati AB, BC, CD, DA di un quadrato si prendono rispettivamente i punti M, N, P, Q in modo che sia MB=BN=DP=DQ. Dimostrare che il quadrilatero MNPQ è un rettangolo il cui perimetro non varia al variare della posizione dei punti M, N, P, Q sui lati del quadrato.

grz mille in anticipo

[Newton_1372]

Definiamo perimetro della figura

[math]P=MQ+QP+PN+MN [/math]

Mi scuso innanzitutto per aver sostituito il simbolo "congruent" con quello di uguale, ma non so come farlo!

Cominciamo col provare che tale quantità è un rettangolo, cioè
1). Ha i lati a due a due congruenti
2). Ha almeno un angolo retto

Per provare la 1), si considerino i triangoli QDP e MBN. Essi sono entrambi rettangoli e hanno i due cateti congruenti per ipotesi. I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza. Quindi MN=QP.
Analogamente dimostriamo la congruenza di MQ e PN, considerando i triangoli AMQ e NPC. Essendo ABCD un quadrato, si ha che i lati sono congruenti. Usando anche le congruenze dell'ipotesi si ha

[math]AM=AB-MB=AC-DP=PC[/math]

e

[math]AQ=AD-QD=BC-BN=NC[/math]

cioè AMQ e NPC hanno in comune l'angolo retto, AM=PC e AQ=NC. pER il primo criterio di congruenza i due triangoli sono uguali, e in particolare MQ=PN.
Avendo i lati a due a due uguali abbiamo che la figura MQPN è un parallelogramma; adesso per dimostrare che è un rettangolo cerchiamo di dimostrare che quei quattro angoli sono retti.

Poiche il triangolo QDP è isoscele la somma dei suoi angoli acuti è 90 gradi; poichè i due angoli acuti sono congruenti si ha che i due angoli dQp e pQb sono di 45 gradi. Anche il triangolo AQM è isoscele e ha quindi due angoli congruenti di 45 gradi. Consideriamo allora l'angolo pQm. Si avrà

[math]pQm=180-pDq-mQa=180-45-45=180-90=90 [/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

in maniera simile si può dimostrare che un altro angolo sia retto, ripetendo il procedimento di prima e considerando i triangoli QDP ed NPC congruente a AQM.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Credo che la dimostrazione che il perimetro non cambi al variare dei punti M, N, O e P sia un pò piu difficile...io cmq ci provo...

Aggiunto 18 minuti più tardi:

cALCOLIAMO innanzitutto il perimetro di MQPN:

[math]P=MQ+QP+PN+NM [/math]

Segnamo i punti M'N'P'Q'. Il perimetro del quadrilatero ottenuto è

[math]P'Q' + Q'M' + M'N' + N'P'[/math]

Usiamo il teorema di Pitagora: credo sia l'unico modo per esprimere una relazione tra i lati delquadrato originario e il rettangolo inscritto...

[math]\sqrt{DP'^2+DQ'^2}+\sqrt{AQ'^2+AM'^2}+\sqrt{BM'^2+BN'^2}+\\\sqrt{CN'^2+CP'^2}[/math]

Aggiunto 1 minuti più tardi:

ZZZZZ...MI arrendo...sono riuscito a dimsotrare solo che è un rettangolo...ma l'uguaglianza del perimetro, seppur la vedo intuitivamente, non riesco a dimostrarla...

Aggiunto 33 minuti più tardi:

cmq metto il disegnino che ho fatto io cosi puoi capire la prima parte della dimostrazione
http://img12.imageshack.us/i/quadrato.png/

Aggiunto 1 secondi più tardi:

cmq metto il disegnino che ho fatto io cosi puoi capire la prima parte della dimostrazione
http://img12.imageshack.us/i/quadrato.png/