Dimostrazione di divisibilità

[fabio.ori.1]

Salve a tutti, sto cercando di dimostrare che $n(n+1)(2n+1)$ è sempre divisibile per $6$ (chi conosce il teorema capirà perché...) utilizzando l'algebra modulare. Ho fatto la casistica possibile per ogni $n\equiv k \mbox{ mod 6}$, con $k=\{0,1,2,3,4,5\}$. Arrivato al punto $k=4$, però, ho trovato che mi viene:
\[
n+1 \equiv 4 \mbox{ mod 6}, \ \ \ \ \ \
2n+1 \equiv 2\times 3 + 1 \equiv 1 \mbox{ mod 6},
\]
da cui
\[
n(n+1)(2n+1)\equiv 3+4+1 \equiv 8 \mbox{ mod 6},
\]
mentre dovrebbe venire divisibile per $6$ (il teorema è stato dimostrato). Sicuramente commetto un qualche errore grossolano, dato che non ho mai seguito lezioni di analisi modulare (sono in II superiore), ma quale?
Grazie mille a tutti in anticipo

[@melia]

Fabio, attento, non è una somma, ma una moltiplicazione
\[
n(n+1)(2n+1)\equiv 3*4*1 \equiv 12 \equiv 0\mbox{ mod 6},
\]

[alfredo4]

L'espressione ${n(n+1)(2n+1)}/6$ rappresenta la somma dei quadrati dei primi n numeri interi consecutivi positivi ( a partire da 1). Pertanto, essendo ovviamente tale somma intera, deve essere $n(n+1)(2n+1)$ divisibile per 6.

[fabio.ori.1]

@Melia, ero convito che con i moduli si dovesse realizzare la somma... Che sbadato! Grazie mille!
Alfredo, questo è certamente giusto, ma volevo tentare una dimostrazione con i moduli.

[francicko]

Boh, se proprio lo si vuole, si puo' dimostrare per induzione, essendo che per $n=2$ vera la proposizione.

[axpgn]

Una via di mezzo ...

Affinché un numero sia divisibile per $6$ deve essere divisibile per $2$ e per $3$.
Tra $n$ e $n+1$ uno deve essere pari essendo consecutivi e quindi la divisibilità per $2$ è a posto.
Se uno di questi due è divisibile per tre abbiamo finito, altrimenti avremo che $n=3k+1$ e $n+1=3k+2$; perciò $2n+1=2*(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3=3(2k+1)$ che è divisibile per tre.
Fatto.

Cordialmente, Alex

[fabio.ori.1]

Bel ragionamento, Alex!
Grazie