Dimostrazione di algebra delle matrici.
Avrei bisogno di un aiuto con il seguente esercizio di algebra delle matrici:
Dimostrare nel caso generale che se due matrici A e B commutano, commutano anche: $ A^(-1) $ e $ B $
Sul libro dove è proposto l'esercizio trovo la seguente soluzione, che riporto e non riesco a capire:
a) l'ipotesi è AB=BA. Dimostriamo che $ A^(-1)*B = B*A^(-1) $
Infatti, moltiplicando ambo i membri di questa relazione a sinistra per A ed a destra per B, si ottiene:
$ A*(A^(-1)*B)*B=A*(B*A^(-1))*B -> (A*A^(-1))*B*B=(A*B)*A^(-1)*B $
Tenendo presente l'ipotesi AB=BA, si ha:
$ IB^(2)= (B*A)*A^(-1)*B=B*(A*A^(-1))*B -> B^2=B^2 $, che è una identità, quindi:
$A^(-1)*B = B*(A^(-1)) $, se A e B commutano, come si voleva dimostrare
Dimostrare nel caso generale che se due matrici A e B commutano, commutano anche: $ A^(-1) $ e $ B $
Sul libro dove è proposto l'esercizio trovo la seguente soluzione, che riporto e non riesco a capire:
a) l'ipotesi è AB=BA. Dimostriamo che $ A^(-1)*B = B*A^(-1) $
Infatti, moltiplicando ambo i membri di questa relazione a sinistra per A ed a destra per B, si ottiene:
$ A*(A^(-1)*B)*B=A*(B*A^(-1))*B -> (A*A^(-1))*B*B=(A*B)*A^(-1)*B $
Tenendo presente l'ipotesi AB=BA, si ha:
$ IB^(2)= (B*A)*A^(-1)*B=B*(A*A^(-1))*B -> B^2=B^2 $, che è una identità, quindi:
$A^(-1)*B = B*(A^(-1)) $, se A e B commutano, come si voleva dimostrare
Risposte
Non capisco dove iniziano i tuoi problemi.
Partendo da
$ A^(-1)*B = B*A^(-1) $
Moltiplico entrambi i membri a sinistra per $A$ e a destra per $B$
$ A * [A^(-1)*B] *B= A *[B*A^(-1)]*B $ il prodotto tra matrici gode della proprietà associativa, quindi è possibile modificare l'ordine delle parentesi.
Primo membro:
$ A * A^(-1)*(B *B)= I*B^2= B^2 $
Secondo membro, invece, sempre modificando l'ordine delle parentesi
$A *[B*A^(-1)]*B = (A*B)*A^(-1)*B=$ uso l'ipotesi $AB=BA$ e riordino le parentesi come più mi conviene, tieni sempre presente che essendo associativa l'operazione non richiederebbe l'uso delle parentesi, le parentesi vengono messe solo per evidenziare quali operazioni si intendono eseguire prioritariamente
$=B*(A*A^(-1))*B= B*I*B=B*B=B^2$
Partendo da
$ A^(-1)*B = B*A^(-1) $
Moltiplico entrambi i membri a sinistra per $A$ e a destra per $B$
$ A * [A^(-1)*B] *B= A *[B*A^(-1)]*B $ il prodotto tra matrici gode della proprietà associativa, quindi è possibile modificare l'ordine delle parentesi.
Primo membro:
$ A * A^(-1)*(B *B)= I*B^2= B^2 $
Secondo membro, invece, sempre modificando l'ordine delle parentesi
$A *[B*A^(-1)]*B = (A*B)*A^(-1)*B=$ uso l'ipotesi $AB=BA$ e riordino le parentesi come più mi conviene, tieni sempre presente che essendo associativa l'operazione non richiederebbe l'uso delle parentesi, le parentesi vengono messe solo per evidenziare quali operazioni si intendono eseguire prioritariamente
$=B*(A*A^(-1))*B= B*I*B=B*B=B^2$
Ciò che non capisco adesso, però, è quale sia la proprietà della moltiplicazione tra matrici che mi permette di affermare che scrivere:
$ A^(-1)*B=B*A^(-1) $
è equivalente alla scrittura:
$ A*A^(-1)*B*B=A*B*A^(-1)*B $
cioè... mi verrebbe da pensare che, in generale , se vale
A*C*B=A*D*B
allora posso trarre:
C=D
anche se la legge di cancellazione non vale in algebra matriciale...
Dove sbaglio?
$ A^(-1)*B=B*A^(-1) $
è equivalente alla scrittura:
$ A*A^(-1)*B*B=A*B*A^(-1)*B $
cioè... mi verrebbe da pensare che, in generale , se vale
A*C*B=A*D*B
allora posso trarre:
C=D
anche se la legge di cancellazione non vale in algebra matriciale...
Dove sbaglio?
La legge di cancellazione non vale in generale, ma se A e B sono invertibili l'uguaglianza diventa
$A*C*B=A*D*B$
$A^(-1)*A*C*B*B^(-1)=A^(-1)*A*D*B*B^(-1)$ da cui
$I*C*I=I*D*I$ e quindi $C=D$
Il problema si pone se le matrici non sono invertibili, cioè se sono dei divisori di zero.
$A*C*B=A*D*B$
$A^(-1)*A*C*B*B^(-1)=A^(-1)*A*D*B*B^(-1)$ da cui
$I*C*I=I*D*I$ e quindi $C=D$
Il problema si pone se le matrici non sono invertibili, cioè se sono dei divisori di zero.
Grazie mille. Ora ho capito.
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