Dimostrazione delle derivate di funzioni composte

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Per curiosità vorrei sapere perchè:
$D[f(g(x))] = f'(g(x))*g'(x)$

Vorrei capire la formula dal rapporto di derivata cioè $f(x)=(f(x+h)-f(x))/h$

tipo $(f((g(x+h)-g(x)+h)/h)-f((g(x+h)-g(x))/h))/h$

poi non so andare avanti... grazie in anticipo

[giuseppe87x]

C'è una dimostrazione matematica rigorosa che non posto perchè è un pò lunga (almeno quella che conosco io). Comunque, ricordando che la derivata può essere considerata in prima approssimazione come rapporto di differenziali si può ragionare così: siano $f:A->B$ e $g:C->D$ con $g(C)subeA$. Ha senso allora la composizione di funzioni $(f@g)(x)$ ottenuta ponendo $(f@g)(x)=f[g(x)]$; si ha allora $(dz)/(dx)=(dz)/(dy)*(dy)/(dx)=f'[g(x)]*g'(x)$ con $zinA$

[????176]

Non ho ben capito un paio di passaggi...

Inanzitutto perchè $(f@g)(x)=f[g(x)]$ e poi come si passa a porre uguali

$(dz)/(dx)=(dz)/(dy)*(dy)/(dx)=f'[g(x)]*g'(x)$ con $zinA$

[giuseppe87x]

$(f@g)(x)=f[g(x)]$ per definizione di funzione composta. Inoltre poichè $z=f(y)$ e $y=g(x)$ si ha la seconda uguaglianza.