Dimostrazione della derivata y=a^x?

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Siccome è costatato che se non capisco la dimostrazione, mi dimentico la formula vorrei che qualcuno possa dimostrarmi:

Da^x=(a^x)*ln(a)

La formula [a^(x+h)-a^x]/h non mi dice nulla, spero in vostri suggerimenti.

Grazie per l'attenzione

[_Tipper]

La derivata è il limite del rapporto incrementale, cioè:

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^x a^h - a^x}{h}$

raccogliendo al numeratore un $a^x$, e portandolo fuori dal limite si ottiene:

$a^x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^h - 1}{h}$

ponendo ora $a^h = e^y$, si ha che per $h \rightarrow 0$ si ha $y \rightarrow 0$, inoltre $h=\log_{a} e^y$, quindi il limite diventa:

$a^x \lim_{y \rightarrow 0} \frac{e^y - 1}{\log_{a} e^y} = a^x \lim_{y \rightarrow 0} \frac{e^y - 1}{y \log_{a} e} =$

$= \frac{a^x}{\log_{a} e} \lim_{y \rightarrow 0} \frac{e^y - 1}{y} = a^x \ln(a)$

In questi passaggi ho sfruttato le proprieta dei logaritmi:

$\log_{a} b^c = c \log_{a} b$ e $\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a$, e ho sfruttato il limite notevole

$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$

[giuseppe87x]

Un procedimento un pò più corto:
$f'(x_(0))=lim_(xtox_(0))(a^x-a^(x_(0)))/(x-x_(0))=lim_(xtox_(0))a^(x_(0))(a^(x-x_(0))-1)/(x-x_(0))=a^(x_(0))loga$