Dimostrazione del teorema del punto unito

[lollof1]

ciao! sono alle prese con la dimostrazione del suddetto teorema, ma proprio non ho capito niente a parte la prima parte, dove in pratica da la definizione di punto unito.

se $ f(a)=a $ e se $ f(b)=b $, allora a e b sono dei punti fissi (uniti).
supponiamo $ f(a)!=a $ e $ f(b)!=b $ quindi, poiché il dominio e' [a,b]:
$ f(a)-a>0 $ poiché $ a $ f(b)-b<0 $ poiché $ a<=f(b) Considero $ g(x)=f(x)-x $, e' continua, allora $ g(a)>0 $ e $ g(b)<0 $ quindi, per il teorema di esistenza degli zeri esiste almeno un $ x_0 $ in $ (a,b) $ ; $ g(x_0)=0 $.
quindi $ g(x_0)=f(x_0)-x_0=0 $. quindi $ f(x_0)=x_0

c.v.d.

[Gi81]

Scusa, ma scrivere l'eneunciato no? Bisogna sapere quali sono le ipotesi di partenza.

[Seneca1]

Anche perché, in tutta sincerità, non ho mai studiato un teorema del genere. Senza enunciato non posso neanche pensare di aiutarti.

[gugo82]

Ricostruire l'enunciato dalla dimostrazione non è difficile... Dovrebbe essere qualcosa del genere.

Siano [tex]$a Se [tex]$f(x)$[/tex] è continua in [tex]$[a,b]$[/tex], allora essa ammette almeno un punto unito, ossia esiste almeno un [tex]$x_0\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$f(x_0)=x_0$[/tex].

[Seneca1]

Ah, d'accordo.

Allora l'idea è semplice. Ragiona per semplicità, se vuoi, su $f : [0,1] -> [0,1]$, tanto per agevolare l'intuizione; poi potrai generalizzare.

In altre parole il teorema dice che c'è almeno un punto dell'intervallo $[0,1]$ in cui la funzione interseca la funzione identica $x$.

Ti è chiaro?

[Gi81]

"gugo82":Ricostruire l'enunciato dalla dimostrazione non è difficile...

L'avevo capito anch'io.
Però non è che mi vada molto di cercare di ricostruire l'enunciato quando chi pone la domanda preferisce non scriverlo (dandolo per scontato)

[lollof1]

Ringrazio chi mi ha risposto per aiutarmi. Per l'ultimo utente che ha risposto: la tua arroganza puoi anche lasciarla a casa. Secondo te non ho scritto l'enunciato perché lo do per scontato?? semplicemente mi sono dimenticato perché questi giorni ho mille cose per la testa! Scusa eh...
Ora sono in biblioteca e lenunciato non lo ricordo benissimo ma dovrebbe essere corretto quello scritto dall'utente! Grazie.
Il problema è che non capisco la dimostrazione...

[Gi81]

Siano [tex]$a Se [tex]$f(x)$[/tex] è continua in [tex]$[a,b]$[/tex], allora essa ammette almeno un punto unito, ossia esiste almeno un [tex]$x_0\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$f(x_0)=x_0$[/tex].

Ci sono tre possibilità:
1) $ f(a)=a $ (abbiamo già finito: $a$ è un punto unito)
2) $ f(b)=b $, (abbiamo già finito; $b$ è un punto unito)
3) $f(a)!= a$ e $f(b)!=b$
In questo caso, per ipotesi, poichè il codominio di $f$ è $[a,b]$, allora $AA x in [a,b]$ si ha $a<=f(x)<=b$
In particolare, scegliendo $x=a$ e $x=b$, si ha $a<=f(a)<=b $ e $a<= f(b)<=b$
Anzi, poichè $f(a)!= a$ e $f(b)!=b$, le disuguaglianze diventano $a Quindi $f(a)-a>0$ e $f(b)-b<0$

Considero $ g(x)=f(x)-x $, e' continua, allora $ g(a)>0 $ e $ g(b)<0 $
quindi, per il teorema di esistenza degli zeri esiste almeno un $ x_0 $ in $ (a,b) $ ; $ g(x_0)=0 $.
quindi $ g(x_0)=f(x_0)-x_0=0 $. quindi $ f(x_0)=x_0$

L'ultima parte l'ho copiata pari pari perchè non c'è molto da spiegare.

[Gi81]

"lollof":... la tua arroganza puoi anche lasciarla a casa. Secondo te non ho scritto l'enunciato perché lo dò per scontato?
Semplicemente mi sono dimenticato perché questi giorni ho mille cose per la testa!

Ti ho solo chiesto di scrivere l'enunciato. Se non so quali ipotesi hai, come posso cercare di spiegarti ciò che non capisci?
Il fatto che io debba, guardando la dimostrazione che hai scritto, ricavarmi l'enunciato del teorema, francamente mi sembra un po' troppo.
Ti aiuto volentieri, ma a tutto c'è un limite. Non volevo essere arrogante.

Se hai dei dubbi su ciò che ho scritto prima, chiedi pure.