Dimostrazione del concetto di limite
Salve,
avendo la scrittura:
$\lim_{n \to \infty}a_n=L$
$a_n$ s'attende al limite $L$ se:
$AAxi>0$ $EEn_xi$
comunque sia assegnata una tolleranza $xi$ fissata ad arbitrio esiste un indice $n_xi$ dipendente da $xi$
$AAn>n_xirArr|a_n-L|
tale che per tutti gli indici $n$ maggiori di $n_xi$ la distanza tra $a_n$ ed $L$ risulti minore di $xi$
Supponiamo per esempio $a_n=1/n$ con $n=1000$
Come bisognerebbe fissare gli indici $xi$ e $n_xi$ ?
In questo caso il limite che sappiamo tendere a zero(per $n$ convenientemente grande) viene considerato zero o coincide al valore $a_n$?
avendo la scrittura:
$\lim_{n \to \infty}a_n=L$
$a_n$ s'attende al limite $L$ se:
$AAxi>0$ $EEn_xi$
comunque sia assegnata una tolleranza $xi$ fissata ad arbitrio esiste un indice $n_xi$ dipendente da $xi$
$AAn>n_xirArr|a_n-L|
tale che per tutti gli indici $n$ maggiori di $n_xi$ la distanza tra $a_n$ ed $L$ risulti minore di $xi$
Supponiamo per esempio $a_n=1/n$ con $n=1000$
Come bisognerebbe fissare gli indici $xi$ e $n_xi$ ?
In questo caso il limite che sappiamo tendere a zero(per $n$ convenientemente grande) viene considerato zero o coincide al valore $a_n$?
Risposte
Mettiamo ordine nelle idee. Vogliamo dimostrare, ad esempio, che $\lim_{n\to\infty} 1/n = 0$. Fissiamo un arbitrario $\epsilon$: ad esempio, $\epsilon=10^{-3}$. Per dimostrare ciò che vogliamo dobbiamo trovare un $n_\epsilon$ tale che per ogni $n>n_\epsilon$ si abbia $|a_n - L| = |1/n| < 10^{-3}$
Ora, la successione $1/n$ è decrescente. Dunque vediamo facilmente che $n_\epsilon = 1001$ fa funzionare le cose!
Ricorda che la definizione deve funzionare PER OGNI epsilon arbitrario. Io ora non ho dimostrato che vale per ogni epsilon, ma per uno in particolare. Se vogliamo fare le cose più formali dobbiamo gestirle un po' diversamente. Ti interessa saperlo o vai bene già così?
Paola
Ora, la successione $1/n$ è decrescente. Dunque vediamo facilmente che $n_\epsilon = 1001$ fa funzionare le cose!
Ricorda che la definizione deve funzionare PER OGNI epsilon arbitrario. Io ora non ho dimostrato che vale per ogni epsilon, ma per uno in particolare. Se vogliamo fare le cose più formali dobbiamo gestirle un po' diversamente. Ti interessa saperlo o vai bene già così?
Paola
No, no, sono interessatissimo, volevo appunto chiedere questo particolare aspetto già dal primo post.
Dato che gran parte della difficoltà nel comprendere il concetto deriva dalla riscontrata ambiguità di scelta di $xi$
Dato che gran parte della difficoltà nel comprendere il concetto deriva dalla riscontrata ambiguità di scelta di $xi$
Prendiamo un generico $1>\epsilon >0$ (se $\epsilon\geq 1$ l'asserto da provare è banale perchè $|1/n|<1$ per ogni $n>1$. Per le proprietà dei reali, sicuramente possiamo trovare $M \in\mathbb{N}$ tale che
$1/(M)<\epsilon $ (se non capisci questo passaggio consiglio di rappresentarlo sulla retta numerica).
Dunque se scegliamo $n_\epsilon = M+1$ avremo per ogni $n>n_\epsilon$:
$|1/n| = 1/n < 1/(M)$(*)$ <\epsilon$
(*)questo passaggio perché la successione è chiaramente decrescente, si dimostra facilmente
Dunque, scegliendo un $\epsilon$ arbitrario, siamo riusciti a trovare $n_\epsilon$ tale per cui per ogni $n$ più grande di $n_\epsilon$, $|1/n - 0|<\epsilon$. Dunque $\lim_{n\to\infty}1/n = 0$.
Paola
$1/(M)<\epsilon $ (se non capisci questo passaggio consiglio di rappresentarlo sulla retta numerica).
Dunque se scegliamo $n_\epsilon = M+1$ avremo per ogni $n>n_\epsilon$:
$|1/n| = 1/n < 1/(M)$(*)$ <\epsilon$
(*)questo passaggio perché la successione è chiaramente decrescente, si dimostra facilmente
Dunque, scegliendo un $\epsilon$ arbitrario, siamo riusciti a trovare $n_\epsilon$ tale per cui per ogni $n$ più grande di $n_\epsilon$, $|1/n - 0|<\epsilon$. Dunque $\lim_{n\to\infty}1/n = 0$.
Paola
Scegliendo un $xi$ arbitrario ma ovviamente compreso tra 0 e 1quindi in qualche modo di un'arbitrarietà ragionata ed ulteriormente per così dire certificato dalla condizione $1/M
Grazie sei stata molto chiara
Grazie sei stata molto chiara
Non capisco che vuoi dire. $\epsilon$ è completamente arbitrario (ma positivo, come vuole la definizione). Semplicemente la dimostrazione si divide in due casi: $\epsilon\geq 1$ (caso banale) ed $0<\epsilon<1$.
Paola
Paola
beh sì, consideralo un altro modo di dire (arbitrariamente meno formale a) quello che hai appena detto.
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