Dimostrazione dall'aspetto semplice
Dimostrare che, al variare di $n$ intero, $n^3+2$ non è divisibile per 7.
Risposte
valanga di cavolate in arrivo... non sono proprio sicuro di quello che dico...
$2=9 (mod7)$ quindi si ha che $n^3+2=n^3+9 (mod7)$ quindi nella divisione otterremo sempre un certo resto, che non è mai nullo...
MOD IDIOZIE....
$2=9 (mod7)$ quindi si ha che $n^3+2=n^3+9 (mod7)$ quindi nella divisione otterremo sempre un certo resto, che non è mai nullo...
MOD IDIOZIE....
Per Eulero-Fermat, si ha che
$n^6-1=7k$
ovvero
$(n^3-1)(n^3+1)=7k$
Supponiamo che al primo membro il fattore $7$ sia contenuto nella parentesi $n^3-1$
In questo caso si ha la tesi subito, perchè si avrebbe che
$n^3+2\equiv3(mod7)$, avremmo resto $3$.
Se fosse invece $7|n^3+1$ si avrebbe, grazie al medesimo ragionamento, resto di $1$
Eulero-Fermat non contempla il caso che sia $n=7h$ che nel nostro caso sarebbe assurdo: otterremmo sempre resto $2$
$n^6-1=7k$
ovvero
$(n^3-1)(n^3+1)=7k$
Supponiamo che al primo membro il fattore $7$ sia contenuto nella parentesi $n^3-1$
In questo caso si ha la tesi subito, perchè si avrebbe che
$n^3+2\equiv3(mod7)$, avremmo resto $3$.
Se fosse invece $7|n^3+1$ si avrebbe, grazie al medesimo ragionamento, resto di $1$
Eulero-Fermat non contempla il caso che sia $n=7h$ che nel nostro caso sarebbe assurdo: otterremmo sempre resto $2$
ma c'era proprio bisogno di scomodare eulero per questo esercizio??
non bastavano considerazioni semplici come le mie (ammesso e non concesso che l'abbia fatto bene)???
non bastavano considerazioni semplici come le mie (ammesso e non concesso che l'abbia fatto bene)???
La tua dimostrazione non mi convince molto.
Infatti con lo stesso procedimento potrei dimostrare che $n^3+1$ non è mai multiplo di sette (cosa falsa, prendi n=3)
Siccome
$1-=8(mod7)$ posso dire
$n^3+1\equiv n^3+8(mod7)$
Volendo approfondire la tua dimostrazione, allora dovresti dimostrare che $n^3+9(mod7)$ non è mai nullo, ma allora saresti punto e a capo.
Ciao.
Infatti con lo stesso procedimento potrei dimostrare che $n^3+1$ non è mai multiplo di sette (cosa falsa, prendi n=3)
Siccome
$1-=8(mod7)$ posso dire
$n^3+1\equiv n^3+8(mod7)$
Volendo approfondire la tua dimostrazione, allora dovresti dimostrare che $n^3+9(mod7)$ non è mai nullo, ma allora saresti punto e a capo.
Ciao.
grazie steven, sentivo che era troppo semplice
ma in questi tipi di esercizi conviene sempre usare eulero???? (sono alle prime armi...)
ma in questi tipi di esercizi conviene sempre usare eulero???? (sono alle prime armi...)
Anche io conosco la TDN in maniera superficiale, purtroppo.
Forse in questo caso si poteva fare qualcosa usando una legge sulla reciprocità cubica, che purtroppo non conosco (mi fermo a quella quadratica).
Gradirei anch'io saperne qualcosa di più, da chi ne sa.
Forse in questo caso si poteva fare qualcosa usando una legge sulla reciprocità cubica, che purtroppo non conosco (mi fermo a quella quadratica).
Gradirei anch'io saperne qualcosa di più, da chi ne sa.
io non so neanche cos'è la reciprocità....mi mettero a studiare poco per volta, se ho capito le matrici posso capire anche TdN.. credo
vabbe grazie per la correzione starò piu attento a non fare cavolate (mod idiozia,che non dipende da me...)
buon natale
Si può anche risolvere la cosa senza ricorrere a teoremi superiori.
Con un calcolo diretto è facile provare che per $0<=n<=7$ il quesito è dimostrato.Per n>7 possiamo fare due ipotesi:
1) n multiplo di 7 :n=7a.In tal caso si ha $n^3+2= (7a)^3+2$ che non è certamente divisibile per 7 dato che 2 non lo è.
2)n non multiplo di 7: n=7a+b con 0
Con un calcolo diretto è facile provare che per $0<=n<=7$ il quesito è dimostrato.Per n>7 possiamo fare due ipotesi:
1) n multiplo di 7 :n=7a.In tal caso si ha $n^3+2= (7a)^3+2$ che non è certamente divisibile per 7 dato che 2 non lo è.
2)n non multiplo di 7: n=7a+b con 0
Grazie mille!
Con l'aritmetica modulare l'esercizio si risolve subito: basta sostituire ad n le sue possibili congruenze modulo 7 (che sono... sette) e constatare che quello che si ottiene non è mai zero modulo 7 (infatti viene nell'ordine 2, 3, 3, 1, 3, 1, 1).
Mi premeva dirlo (anche nel caso in cui l'aritmetica modulare non sia argomento conosciuto alle superiori: essendo stato tirato in ballo Eulero-Fermat ... )
Ciao.
Mi premeva dirlo (anche nel caso in cui l'aritmetica modulare non sia argomento conosciuto alle superiori: essendo stato tirato in ballo Eulero-Fermat ... )
Ciao.
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