Dimostrazione congruenze

[GualtieroMalghesi]

NB LE LETTERE CHE IDENTIFICANO I PUNTI SONO SFALSATE

Dimostrare che la distanza da un punto medio di un segmento da un qualunque punto preso sopra uno dei prolungamenti del segmento è congruente alla semisomma delle distanze di questo punto dagli estremi del segmento.
A M B P
- - ——.——.——.——.—— - -

Il testo dice che $MP$ deve essere congruente alla semisomma delle distanze di questo punto dagli estremi del segmento, quindi:

$MP~=(AP+BP)/2$

$MP$ può essere visto come somma di $MB$ e $BP$

$MP~=MB+BP$

$AP$ può essere visto come somma dei segmenti: $AM$; $MB$ e $BP$

$AP~=AM+MB+BP$

Essendo $AM~=MB$

Posso riscrivere la formula come segue:

$AP~=2MB+BP$

Ora sostituisco alla formula iniziale:

$MB+BP~=[(2MB+BP)+BP]/2$

Il risultato sarà la seguente congruenza:

$MB+BP~=MP+BP$

Dimostrare che la distanza di un punto medio di un segmento da un qualunque punto del segmento è congruente alla semidifferenza delle distanze di questo punto dagli estremi del segmento.

A M C B
- - —.————.——.——.— - -

In questo caso $MC$ deve essere congruente alla semidifferenza delle distanze di questo punto dagli estremi del segmento, quindi:

$MC~=(AC-CB)/2$

$MC$ può essere visto come differenza tra $MB$ e $CB$

$MC~=MB-CB$

$AC$ può essere visto come differenza tra $AB$ e $CB$

$AC~=AB-CB$

$AB~=AM+MB$

Essendo $AM~=MB$

$AB~=2MB$

Sostituisco alla formula iniziale:

$MB-CB~=[(2MB-CB)-CB]/2$

Risolvendo avrò come risultato:

$MB-CB~=MB-CB$

Cosa ne pensate?

[mgrau]

Mah, devo dire che non ho letto tutto il romanzo....
In fondo, si sta dicendo che la distanza dal punto medio è la media delle distanze dagli estremi... a occhio, mi pare che ci si possa arrivare più in fretta

[GualtieroMalghesi]

E perché non provi a dimostrarlo?

[mgrau]

Ok, proviamo...
Mettiamo, da sinistra destra: A, M, B, P
Ipotesi: AM = MB
Tesi: 1/2(PA+PB) = PM

PM = PB + BM
PA = PB + BM + MA
PB = PB

PA + PB = 2 PB + BM + MA = 2 (PB + MB)
1/2 (PA + PB) = PB + MB = PM
c.v.d.

Magari è uguale alla tua, non so... di certo ci sono meno battute.
P.S. Non avevo visto che c'era una seconda tesi...