Dimostrazione angoli geometria sintetica

[anna.dit]

Sia OC la bisettrice di un angolo AOB e sia OD una semiretta esterna all' angolo AOB.dimostrare che l'angolo formato da OC e OD è uguale alla semisomma degli angoli DOB e DOA.

mi sono impantanato AOC=OBD
ho fatto lo stesso problema, però con la sottrazione, con l' addizione sono ad un passo dall' ultimo passaggio della dimostrazione.
io ho fatto così:
ho tracciato la bisettrice dell' angolo DOA che sarebbe OF.
ho tracciato la bisettrice dell' angolo DOB che equivalerebbe a OA
non riesco ad andare avanti e ho il dubbio che gli angoli siano concavi o convessi

[G.D.5]

Sarà che sono io che non capisco la traccia, ma io non me la ritrovo proprio. Se la semiretta $OD$ deve essere esterna all'angolo $\angle AOC$, la posso prendere interna all'angolo $\angle BOC$: in questo caso risulterebbe $\angle DOB + \angle DOA = \angle AOB = 2 \angle COD < 2 \angle BOC = \angle AOB$.

Sono io o è la traccia?

[anna.dit]

ho riaggiustato la traccia prima, perchè avevo sbagliato, la semiretta OD deve essere esterna all' angolo AOB.
scusa

[anna.dit]

ora ti risulterà più facile

[anna.dit]

immaginando una bisettrice OF divida l' angolo DOA in due parti uguali, io l' ho risolto in questo modo
FOC=DOA per costruzione
DOA + AOC= DOC giusto?

[G.D.5]

Posto $beta=\angle DOB, alpha=\angle BOC = \angle AOC$ si ha $\angle COD = \angle BOC + \angle DOB=alpha+beta=frac{2(alpha+beta)}{2}=......$ continua.

[G.D.5]

"minato":immaginando una bisettrice OF divida l' angolo DOA in due parti uguali, io l' ho risolto in questo modo
FOC=DOA per costruzione
DOA + AOC= DOC giusto?

No.

[anna.dit]

Wizard, ma che dici? non mi ritrovo con i tuoi calcoli

[G.D.5]

$\angle DOB + \angle DOA = (beta) + (beta + 2alpha) = 2 (beta + alpha) = 2 \angle DOC$.

E' più chiaro adesso?

[G.D.5]

"WiZaRd":Posto $beta=\angle DOB, alpha=\angle BOC = \angle AOC$ si ha $\angle COD = \angle BOC + \angle DOB=alpha+beta=frac{2(alpha+beta)}{2}=......$ continua.

... continuando a fare i conti $\frac{2(alpha+beta)}{2}=\frac{(2alpha + beta) + beta}{2}=\frac{\angle AOD + \angle BOD}{2}$

[anna.dit]

grazie, ho capito. ma perchè il mio è sbagliato?

[G.D.5]

Perché la bisettrice $OF$ è interna ad $\angle AOD$, quindi non può essere $\angle FOC = \angle DOA$.

[anna.dit]

grazie, ho capito la differenza, ti avevo detto che FOC = DOA perchè il disegno non l' ho disegnato come il tuo, ho messo OF opposto a AOD.

[G.D.5]

Prego.

[G.D.5]

Ci tengo a concludere dicendo che anche se la semiretta $OF$ fosse bisettrice dell'angolo concavo $\angle AOD$, comunque i conti non tornerebbero: prendo $\angle AOB = 40°$ e $\angle BOD = 30°$. A questo punto $\angle AOC = 20°$ e $\angle AOD^{**} = 180°-(40°+30°)=110°$ (*): indi, essendo $FO$ bisettrice, si ha $\angle FOA = \angle FOD = 55°$ e $\angle FOC= 55° + 20° = 75° != 70°=\angle AOD$.




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(*) Con $\angle AOD^{**}$ intendo l'angolo concavo.