Dimostrazione alternativa per le formule di sottrazione
Salve sul mio libro è riportata una dimostrazione geometrica delle formule di addizione e sottrazione. Io però ho pensato di procedere in un altro modo. Sia data una circonferenza goniometrica con i versori i e j più altri due versori chiamiamoli h e k che formano rispettivamente un angolo alpha e un angolo beta. Ora i versori h e k possono essere scritti così:h=axi+ayj mentre k=bxi+byj risulta evidenter che il loro modulo sarà 1. La differenza potrò ottenerla facendo il prodotto scalare cioè l'angolo differenza del coseno posso ottenerlo con il prodotto scalare facendo h*k=axbx+ayby che come vedete è giusta in quanto Cos(alpha-beta)=cosalphacosb+senalphasenbeta. Il problema sorge quando vado a fare la differenza di seni: applico in questo caso il prodotto vettoriale hxk=axbyk-aybxk ora poichè k=1 diventa hxk=axby-aybx che però è sbagliata perchè sen(alpha-beta)=senalphacosbeta-cosalphasenbeta mentre qui viene:cosalphasenbeta-senalphacosbeta. Dove sto sbagliando? potete aiutarmi?
Risposte
non so se ho centrato il problema.
la formula che dà il prodotto scalare si può applicare tranquillamente, perché si tratta di uno scalare ed il risultato è "completo del segno".
il prodotto vettoriale è un vettore, e con la formula (a meno dell'utilizzo della terza dimensione) ti dà "solo" il modulo: tu dici k=1 (come l'hai scritto mi pare che ci sia confusione tra k=bxi+byj e tra k prodotto vettoriale tra i e j). se ti riferisci al versore dell'asse z, escludi a priori che hxk possa avere verso come -z.
in effetti, la formula trovata, a meno del segno, è corretta. ma come regolarsi per il segno?
quanto detto si accorda al fatto che cos(-x)=cos(x), ma sen(-x)=-sen(x), quindi $cos(alpha-beta)=cos(beta-alpha)$, mentre $sen(alpha-beta)=-sen(beta-alpha)$.
come distingui i casi di $alpha > , = " o " < " di " beta$ ?
rifletti e facci sapere. ciao.
la formula che dà il prodotto scalare si può applicare tranquillamente, perché si tratta di uno scalare ed il risultato è "completo del segno".
il prodotto vettoriale è un vettore, e con la formula (a meno dell'utilizzo della terza dimensione) ti dà "solo" il modulo: tu dici k=1 (come l'hai scritto mi pare che ci sia confusione tra k=bxi+byj e tra k prodotto vettoriale tra i e j). se ti riferisci al versore dell'asse z, escludi a priori che hxk possa avere verso come -z.
in effetti, la formula trovata, a meno del segno, è corretta. ma come regolarsi per il segno?
quanto detto si accorda al fatto che cos(-x)=cos(x), ma sen(-x)=-sen(x), quindi $cos(alpha-beta)=cos(beta-alpha)$, mentre $sen(alpha-beta)=-sen(beta-alpha)$.
come distingui i casi di $alpha > , = " o " < " di " beta$ ?
rifletti e facci sapere. ciao.
Per sen(alpha-beta) credo,a questo punto, che il prodotto vettoriale non possa essere usato perchè giustamente non so come regolarmi per il segno.
Il prodotto vettoriale non può essere usato quindi arivato alla dimostrazione di cos(alfa -beta) ottengo sen(alfa-beta) facendo la dimostrazione classica cioè sen(alfa-beta)=cos((9o-(alfa-beta))
anche nel modo classico, basta dimostrarne una mediante la geometria analitica: tutte le altre seguono piuttosto agevolmente dalle relazioni fondamentali e dagli archi associati, anche quelle più complicate, mediante un po' di manipolazione algebrica.
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