Dimostrazione
Buona sera a tutti^^
Scusate ma non sapevo bene dove postare
Comunque vorrei mi spiegaste,in modo chiaro,come impostare questo genere di dimostrazioni in vista della gara di Febbraio delle olimpiadi della matematica
Sia x_0,x_1,x_2,... la successione definita da x_0=2 e x_n_+_1=5+(x_n)^2 per ogni x maggiore uguale di zero.Dimostrare che in una tale successione non compaiono numeri primi diversi da 2.
Ovviamente ho visto le soluzioni ma sono troppo sintetiche e non le ho capite molto
Vi ringrazio anticipatamente^^
Scusate ma non sapevo bene dove postare
Comunque vorrei mi spiegaste,in modo chiaro,come impostare questo genere di dimostrazioni in vista della gara di Febbraio delle olimpiadi della matematica
Sia x_0,x_1,x_2,... la successione definita da x_0=2 e x_n_+_1=5+(x_n)^2 per ogni x maggiore uguale di zero.Dimostrare che in una tale successione non compaiono numeri primi diversi da 2.
Ovviamente ho visto le soluzioni ma sono troppo sintetiche e non le ho capite molto
Vi ringrazio anticipatamente^^
Risposte
[mod="Martino"]Ciao,
ti invito ad imparare ad usare il mathml oppure il tex per la scrittura delle formule.
Inoltre cambia titolo, mettine uno che specifichi l'argomento.
Grazie.[/mod]Sposto in secondaria di II grado.
ti invito ad imparare ad usare il mathml oppure il tex per la scrittura delle formule.
Inoltre cambia titolo, mettine uno che specifichi l'argomento.
Grazie.[/mod]Sposto in secondaria di II grado.
Non credo che ci siano regole generali per impostare problemi di quel tipo. Al massimo posso consigliarti il metodo che uso io: prima guardo la formula, chiedendomi se mi suggerisce qualcosa; di solito non succede, e allora calcolo i valori successivi delle prime $x_n$ e li osservo fino a trovarvi qualche regolarità che possa aiutare nella dimostrazione; passo poi a dimostrare che questa regolarità esiste per tutte le n.
Seguendo le mosse di gianmaria, mi permetto di dare un consiglio.
Se ho capito bene, e quindi:
$x_0 = 2$ e $x_(n+1) = 5 + (x_n)^2$
I primi numeri della serie sono :
$2, 9 , 86 , 7401, 54774806 ...$
Per quanto riguarda gli $x_n$ in cui la n è pari la risposta è subito semplice: da $x_3$ infatti entriamo in un "circolo vizioso" ( che bel termine
) in cui l'ultima cifra del numero per i casi dispari diventa sempre 1 ( questo perchè 6^2 da sempre 6 , a cui aggiunto 5 si avrà sempre 1 ). Elevato alla seconda da sempre 1, con il +5 sempre 6. Non è quindi primo.
Per quanto riguarda gli $x_n$ con n dispari sono convinto che siano tutti divisibili per 3, ma al momento sono un pò stanchello e mi fermo qui ( i risultati delle divisioni per 3 mi puzzano però di numeri primi ... ).
Se ho capito bene, e quindi:
$x_0 = 2$ e $x_(n+1) = 5 + (x_n)^2$
I primi numeri della serie sono :
$2, 9 , 86 , 7401, 54774806 ...$
Per quanto riguarda gli $x_n$ in cui la n è pari la risposta è subito semplice: da $x_3$ infatti entriamo in un "circolo vizioso" ( che bel termine
) in cui l'ultima cifra del numero per i casi dispari diventa sempre 1 ( questo perchè 6^2 da sempre 6 , a cui aggiunto 5 si avrà sempre 1 ). Elevato alla seconda da sempre 1, con il +5 sempre 6. Non è quindi primo.Per quanto riguarda gli $x_n$ con n dispari sono convinto che siano tutti divisibili per 3, ma al momento sono un pò stanchello e mi fermo qui ( i risultati delle divisioni per 3 mi puzzano però di numeri primi ... ).
L'intuizione di Auron è corretta.
Io vedrei il tutto in questo modo:
Analizziamo la tua successione.
Se $x_n$ è pari, allora $x_(n+1)=5+(x_n)^2=5+ \ (pari)^2= 5+ \ pari= \ dispari$.
Invece se $x_n$ è dispari, allora $x_(n+1)=5+(x_n)^2=5+ \ (dispari)^2= 5+ \ dispari= \ pari$
Quindi la successione alterna pari e dispari.
Ora se $x_n$ è pari, allora è divisibile per 2, e quindi non è un numero primo.
Ci restano da analizzare i termini dispari della successione.
Il primo termine dispari è $x_1=9$.
Esso è divisibile per 3.
Il prossimo termine dispari sarà quindi $x_3$ poichè abbiamo mostrato prima che pari e dispari si alternano nella successione.
Posso scrivere $x_3=5+(x_2)^2=5+(5+(x_1)^2)^2$.
In generale quindi, preso un qualunque termine dispari della successione $x_(n+1)$ ho che $x_(n+1)=5+(5+x_(n-1)^2)^2$.
Ora voglio mostrare che se $x_(n-1)$ è divisibile per 3, allora lo è anche $x_(n+1)$.
In tal modo avrei che $x_1=9$ è divisibile per 3, allora lo è $x_3$, allora lo è $x_5$ .....
e quindi ogni termine dispari della succesione è divisibile per 3 e quindi non è primo.
Mi resta quindi solo da mostrare che se $x_(n-1)$ è divisibile per 3, allora lo è anche $x_(n+1)$.
Ora $x_(n-1)$ è divisibile per 3, allora posso scrivere $x_(n-1)=3k$.
Perciò sfruttando la formula per $x_(n+1)$ scritta sopra ho
$x_(n+1)=5+(5+x_(n-1)^2)^2=5+(5+(3k)^2)^2=5+(5+9k^2)^2=5+25+81k^4+90k^2=30+81k^4+90k^2=3(10+27k^4+30k^2)$
e quindi è divisibile per 3 e ho finito.
Capito?
Io vedrei il tutto in questo modo:
Analizziamo la tua successione.
Se $x_n$ è pari, allora $x_(n+1)=5+(x_n)^2=5+ \ (pari)^2= 5+ \ pari= \ dispari$.
Invece se $x_n$ è dispari, allora $x_(n+1)=5+(x_n)^2=5+ \ (dispari)^2= 5+ \ dispari= \ pari$
Quindi la successione alterna pari e dispari.
Ora se $x_n$ è pari, allora è divisibile per 2, e quindi non è un numero primo.
Ci restano da analizzare i termini dispari della successione.
Il primo termine dispari è $x_1=9$.
Esso è divisibile per 3.
Il prossimo termine dispari sarà quindi $x_3$ poichè abbiamo mostrato prima che pari e dispari si alternano nella successione.
Posso scrivere $x_3=5+(x_2)^2=5+(5+(x_1)^2)^2$.
In generale quindi, preso un qualunque termine dispari della successione $x_(n+1)$ ho che $x_(n+1)=5+(5+x_(n-1)^2)^2$.
Ora voglio mostrare che se $x_(n-1)$ è divisibile per 3, allora lo è anche $x_(n+1)$.
In tal modo avrei che $x_1=9$ è divisibile per 3, allora lo è $x_3$, allora lo è $x_5$ .....
e quindi ogni termine dispari della succesione è divisibile per 3 e quindi non è primo.
Mi resta quindi solo da mostrare che se $x_(n-1)$ è divisibile per 3, allora lo è anche $x_(n+1)$.
Ora $x_(n-1)$ è divisibile per 3, allora posso scrivere $x_(n-1)=3k$.
Perciò sfruttando la formula per $x_(n+1)$ scritta sopra ho
$x_(n+1)=5+(5+x_(n-1)^2)^2=5+(5+(3k)^2)^2=5+(5+9k^2)^2=5+25+81k^4+90k^2=30+81k^4+90k^2=3(10+27k^4+30k^2)$
e quindi è divisibile per 3 e ho finito.
Capito?
Concordo con quanto scritto finora. Fra i suggerimenti che ho dato, ne ho dimenticato uno, che in questo caso è quello risolutivo: usando la formula di rirrenza, calcolare in funzione di $x_n$ anche $x_(n+2)$ e magari anche qualcuno dei successivi: a parte l'aver usato indici diversi, è sostanzialmente quello che ha fatto misanino. Il mio ragionamento differisce pochissimo dal suo, ed è
$x_(n+2)=5+x_(n+1)^2=5+(5+x_n^2)^2= x_n^4+10x_n^2+30$
che mostra che se una $x_n$ è divisibile per un sottomultiplo di 30, lo è anche $x_(n+2)$ e, per ricorrenza, lo sono tutte le x con indice n+2k. Poichè $x_0$ è divisibile per 2 e $x_1$ lo è per 3, con indice pari ottengo un numero divisibile per 2 e con indice dispari uno divisible per 3.
Ho notato anch'io che, per i primi valori di n, il 2 o il 3 sono moltiplicati per numeri primi; non garantirei però che valga per ogni n e non saprei dimostrarlo.
$x_(n+2)=5+x_(n+1)^2=5+(5+x_n^2)^2= x_n^4+10x_n^2+30$
che mostra che se una $x_n$ è divisibile per un sottomultiplo di 30, lo è anche $x_(n+2)$ e, per ricorrenza, lo sono tutte le x con indice n+2k. Poichè $x_0$ è divisibile per 2 e $x_1$ lo è per 3, con indice pari ottengo un numero divisibile per 2 e con indice dispari uno divisible per 3.
Ho notato anch'io che, per i primi valori di n, il 2 o il 3 sono moltiplicati per numeri primi; non garantirei però che valga per ogni n e non saprei dimostrarlo.
Noto con piacere che la mia intuizione era corretta: dopo vari tentativi stamatiina ( nell'ora di arte ) sono arrivato anche io alla soluzione di misamino.
Ora di arte + internet sono un mix letale
Per $x_4$ , che è pari a $ 54774806$ , la divisione con il 2 dà risultato $27387403$.
Che non è un numero primo.
( Mi è bastato controllare su http://www.prime-numbers.org/
)
) sono arrivato anche io alla soluzione di misamino.Ho notato anch'io che, per i primi valori di n, il 2 o il 3 sono moltiplicati per numeri primi; non garantirei però che valga per ogni n e non saprei dimostrarlo.
Ora di arte + internet sono un mix letale
Per $x_4$ , che è pari a $ 54774806$ , la divisione con il 2 dà risultato $27387403$.
Che non è un numero primo.
( Mi è bastato controllare su http://www.prime-numbers.org/
)
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