DIMOSTRAZIONE
Ciao....
potete aiutarmi con questa dimostrazione????
Dimostrare che $4^n-1$ è divisibile per 3.
GRAZIE
potete aiutarmi con questa dimostrazione????
Dimostrare che $4^n-1$ è divisibile per 3.
GRAZIE
Risposte
$(4^n-1)=(4-1)(4^{n-1}+4^{n-2}+...+1)$
Scusa ma non capisco....
Purtroppo abbiamo appena iniziato l'argomento e non conosco tante proprietà... non capisco come sei arrivato a scrivere quell'uguaglianza e nemmeno come essa mi dica che è sicuramente divisibile per 3...
))
Purtroppo abbiamo appena iniziato l'argomento e non conosco tante proprietà... non capisco come sei arrivato a scrivere quell'uguaglianza e nemmeno come essa mi dica che è sicuramente divisibile per 3...
))
Ha semplicemente sfruttato l'uguaglianza:
$a^n-b^n=(a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+ab^(n-2)+b^(n-1))
Se a = 4 e b = 1 si ottiene :
$4^n-1=3*(4^(n-1)+4^(n-2)+...)$
che è sicuramente divisibile per 3.
P.s. Si poteva anche dimostrare per induzione.
$a^n-b^n=(a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+ab^(n-2)+b^(n-1))
Se a = 4 e b = 1 si ottiene :
$4^n-1=3*(4^(n-1)+4^(n-2)+...)$
che è sicuramente divisibile per 3.
P.s. Si poteva anche dimostrare per induzione.
D'accordissimo con MaMo e Ubermensch.
Eventualmente, questa proprietà si potrebbe anche dimostrare così.
Se 3r+1 e 3s+1 sono due numeri interi, moltiplicandoli fra loro
si ricava un numero con la stessa forma:
1) (3r+1)·(3s+1) = 3·(3rs+r+s)+1.
Dal momento che 4=3+1, la potenza a-esima di tale numero
corrisponde al prodotto:
(3+1)·(3+1)·(3+1)·... (con a fattori)
e ciò significa, come conseguenza della (1), che si ottiene un
intero del tipo 3t+1. Pertanto:
4ª -1 = 3t+1-1 = 3t
(ho usato a per esponente poiché al momento non riesco a
visualizzare le formule).
Eventualmente, questa proprietà si potrebbe anche dimostrare così.
Se 3r+1 e 3s+1 sono due numeri interi, moltiplicandoli fra loro
si ricava un numero con la stessa forma:
1) (3r+1)·(3s+1) = 3·(3rs+r+s)+1.
Dal momento che 4=3+1, la potenza a-esima di tale numero
corrisponde al prodotto:
(3+1)·(3+1)·(3+1)·... (con a fattori)
e ciò significa, come conseguenza della (1), che si ottiene un
intero del tipo 3t+1. Pertanto:
4ª -1 = 3t+1-1 = 3t
(ho usato a per esponente poiché al momento non riesco a
visualizzare le formule).
..che dimostra anche che esistono infiniti primi della forma 3n+2..niente male il tuo procedimento Bruno.
...molto interessante anche la tua osservazione 
si può anche scrivere più semplicemente:
(4^n)-1 = (3+1)^n-1 = 3^n+6 = 3(3^(n-1)+2)
che è divisibile per tre...
(4^n)-1 = (3+1)^n-1 = 3^n+6 = 3(3^(n-1)+2)
che è divisibile per tre...
dove la t che piace tanto a bruno è =3^(n-1)+2
Ciao, matt.kilnsey 
Ho appena visto il tuo messaggio e non riesco a focalizzare qualche passaggio...
Tu dici che:
4ª-1 = (3+1)ª-1 = 3ª+6?
Ho capito bene?
Scusami se ti faccio perdere un po' di tempo e comunque grazie.
A presto!
[size=84] Utilizzo a al posto di n perché così riesco a visualizzare meglio le potenze come testo,
poiché al momento non posso usare MathML.[/size]
Ho appena visto il tuo messaggio e non riesco a focalizzare qualche passaggio...
Tu dici che
4ª-1 = (3+1)ª-1 = 3ª+6?
Ho capito bene?
Scusami se ti faccio perdere un po' di tempo e comunque grazie.
A presto!
[size=84]
non siamo qui a perdere tempo...
vediamo... non so se mi ricordo bene quello che ho scritto:
4^a-1 = ((3+1)^a)-1 ci sei?
poi (3+1)^a lo risolvo come un quadrato tipo 3^a+1^a+2*3*1 e viene = 3^a + 1 +6
poi tolgo 1 perchè c'era anche un -1 e abbiamo 3^a+6 che si divide per 3.
vediamo... non so se mi ricordo bene quello che ho scritto:
4^a-1 = ((3+1)^a)-1 ci sei?
poi (3+1)^a lo risolvo come un quadrato tipo 3^a+1^a+2*3*1 e viene = 3^a + 1 +6
poi tolgo 1 perchè c'era anche un -1 e abbiamo 3^a+6 che si divide per 3.
Ma quello non è un quadrato...Quando l'esponente è intero si utilizza il binomio di newton.
era un caso, quando a=2. funziona anche con gli altri numeri sostituendo una incognita con un'altra
Cioè 
?
?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo