Dimostrazioe limite

[fed_27]

come dimostro che limite di tgx con x tendente ad infinito non esiste ( teorema del confronto?)
GRAZIE

[nato_pigro1]

cioè

$lim_(x->oo)(tgx)$

?

[fed_27]

Esatto

[nato_pigro1]

devi dimostrarlo solo con la definizione di limite?

[nox89]

Io lo dimostrerei seplicemente considerando che la tangente è il rapporto fra seno e coseno. Il limite che tende ad infinito di seno oscilla continuamente, assumendo valori compresi fra -1 e +1; stessa cosa dicasi del coseno. Il rapporto fra due quantità che oscillano infinitamente è un valore che, a sua volta oscilla continuamente; in questo senso possiamo affermare che il limite di tangente per x che tenge ad infinito non esiste.

[fed_27]

Sì, ma questa è la dimostrazione "A occhio e croce", matematicamente qual è la dimostrazione?

[nox89]

La dimostrazione rigorosa purtroppo non la conosco, io ho sempre usato questa.

[nato_pigro1]

ma secondo me devi specificare con quali strumenti la vuoi dimostrare...
se la devi dimostrare solo con la definzione di limite è un conto, altrimenti basta dire che la tangente è una tipica funzione periodica per cui non esiste il limite...

[alvinlee881]

Non sono molto sicuro, ma se la si vuole formale provo a dire qualcosa.

Una funzione ha limite $L$ per x che tende a più infinito se $AA epsilon>0$ $ EE m>0$ tale che $AA x>m $ si ha $|f(x)-L| Per dimostrare che una funzione non ha limite, dobbiamo negare questa proposizione. Cioè la funzione non ha limite L se
$ EE epsilon>0 $ tale che $AA m>0$ $EE x>m$ per cui $|f(x)-L|>=epsilon$.


Dimostro per esempio che la funzione $sinx$ non ha limite per x che tene a più infinito (e di conseguenza non ce l'ha nemmeno $tgx=(sinx/cosx)$. Supponiamo per assurdo che esista il limite $L$ e verifichiamo che vale la negazione di cui sopra, per cui non esiste tale limite.
Si hanno 3 casi:
1) Se fosse $L>0$, prendo $epsilon=L/2$ (basta che ne esista 1, quindi lo scelgo io). Sia $m$ generico, prendo $x=pi[m]$, dove con $[m]$ indico la parte intera di m. Sappiamo che $sin(kpi)=0$ per ogni k intero. Evidentemente $x>m$, e si ha che $|f(x)-L|=|0-L|=L>=L/2=epsilon$, e la proposione è dunque verificata. Cioè non esiste un limite $L>0$.
2) Se invece fosse $L<0$, prendo $epsilon=-L/2$. Scegliendo lo stesso x di prima (in funzione di m), ho che $|f(x)-L|=|-L|$, e poichè $L<0$, $-L>0$ e quindi $|-L|=-L>=-L/2=epsilon$,poichè $L<0$, e anche in questo caso la proposizione è verificata, cioè il limite, se esiste, non è certo negativo.
3) Se infine fosse $L=0$ scelgo per esempio $epsilon=1/4$, $m$ generico e $x=2[m]pi+pi/2$. Vale $x>m$ e $sinx=1$. Di conseguenza $|f(x)-0|=|1|=1>=1/4=epsilon$, cosicchè è esclusa anche l'eventualità che sia $L=0$.
In conclusione, il limite per x che tende a più infinito di $sin(x)$, e quindi anche di $tgx$, non esiste.
(il tutto a meno di probabilissimi errori)

Ma è molto più bello dire che oscilla