Dimostrare che $7^(2n)-1$ è divisibile per 48
Ciao vorrei sapere come si può dimostrare che [tex]7^{2n}-1[/tex] è divisibile per 48. Io sono partito dal punto molto semplice che [tex]7^{2n}=49^n[/tex] e che quindi qualunque valore do ad n è sempre divisibile per 49 ma se tolgo 1 non so se sia divisibile per 48. Boh come fare? Grazie
Risposte
Io lo dimostrerei per induzione su n:
Sia $n=1$, allora $7^{2n}-1=49-1=48$ che ovviamente è divisibile per 48
Supposta vera la proprietà per un certo $N$ naturale, dimostro che vale per $N+1$
$7^{2(N+1)}-1=7^(2N+2)-1=7^{2N}\cdot 7^2-1=49 \cdot 7^{2N}-1=49 \cdot 7^{2N}-49+48=49(7^{2N}-1)+48$
Quindi abbiamo ottenuto un numero che è somma di due numeri divisibili per 48, e dunque è divisibile per 48.
Dunque la proprietà è vera per ogni numero $n$ naturale maggiore o uguale ad 1
Ciao,
S.
Sia $n=1$, allora $7^{2n}-1=49-1=48$ che ovviamente è divisibile per 48
Supposta vera la proprietà per un certo $N$ naturale, dimostro che vale per $N+1$
$7^{2(N+1)}-1=7^(2N+2)-1=7^{2N}\cdot 7^2-1=49 \cdot 7^{2N}-1=49 \cdot 7^{2N}-49+48=49(7^{2N}-1)+48$
Quindi abbiamo ottenuto un numero che è somma di due numeri divisibili per 48, e dunque è divisibile per 48.
Dunque la proprietà è vera per ogni numero $n$ naturale maggiore o uguale ad 1
Ciao,
S.
Ma anche $7^(2n)-1=49^n-1$ può essere pensato come una differenza di potenze di ugual esponente che è sempre divisibile per la differenza delle basi (si dimostra con il teorema di Ruffini):
$a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+ ... +ab^(n-2)+b^(n-1))$, nel caso particolare dell'esercizio la differenza delle basi è appunto $49-1=48$
Chiaramente la dimostrazione di mathmum è più elegante, ma se non conosci la dimostrazione per induzione puoi usare questa.
$a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+ ... +ab^(n-2)+b^(n-1))$, nel caso particolare dell'esercizio la differenza delle basi è appunto $49-1=48$
Chiaramente la dimostrazione di mathmum è più elegante, ma se non conosci la dimostrazione per induzione puoi usare questa.
Grazie mille a tutti e due non avevo pensato ne all'una nè all'altra.
Ciao scusate se rispondo dopo qualche giorno, ero convinto di aver capito la dimostrazione mentre invece nada, la dimostrazione per induzione ci sono fino all'ultimo [tex]49(7^{2n}-1)+48[/tex] il numero è formato dalla somma di 48 che è divisibile per 48, ma l'altro è 49 moltiplicato per un numero diviasibile per 49 ma non so che sia divisibile, inoltre solo provando con il valore 1 io non riesco a capire come dimostrare che è divisibile per tutti i valori di n. No riesco a capire.
"nicolaflute":
Il numero è formato dalla somma di 48 che è divisibile per 48, ma l'altro è 49 moltiplicato per un numero divisibile per 49 ma non so che sia divisibile...
Uno schema del Principio di induzione:
1 La proposizione è vera per n = 1;
2 Supponi che la proposizione sia vera per n;
3 Verifica che la proposizione è vera per n + 1;
$rArr$ è valida per ogni $n in NN$
la risposta al tuo dubbio sta al punto 2.
Per quanto riguarda la spiegazione di @melia, non dovresti avere problemi.
"@melia":
una differenza di potenze di ugual esponente è sempre divisibile per la differenza delle basi
$49^n-1^n$ è divisibile per $49-1=48$
Ok allora quello che manca a me non è capire la dimostrazione di mathmum ma capire perchè i matematici considerano vera la dimostrazione per induzione. Qualcuno mi dice il ragionamento che i matematici hanno usato per dimostrare che con la dimostrazione per induzione sia vera se la si usa bene? Grazie.
Supponiamo per assurdo che il principio di induzione non sia vero e sia A l'insieme costituito da tutti gli n appartenenti a N per cui la proprietà non è vera. Poichè N è ben ordinato l'insieme A sarà dotato di minimo. Sia m il minimo di A, allora m è il più piccolo numero naturale per cui la proprietà non è vera, pertanto sarà vera per m-1 ma se è vera per m-1 dovrà essere vera per m, per ipotesi, e questo contraddice il nostro assunto. La proprietà dovrà essere vera per ogni numero naturale.
Tra le due io preferisco la dimostrazione di @melia, pur trovando formalmente ineccepibile il ragionamento di mathmum.
Il fatto è che questi risultati dimostrati per induzione lasciano talvolta la sensazione di essere stati "calati dall'alto": ragionando come mathmum, arriviamo sì a dimostrare l'asserto ma è perché sapevamo già dove volevamo arrivare. Infatti la traccia ci diceva: dimostrare che il numero tot è divisibile per 48.
Ma "nella realtà" non c'è una traccia che ci dice cosa cercare. Davanti ad un numero come $7^{2n}-1$, la prima cosa che vorremo fare è trovarne qualche divisore, per scomporlo in fattori più piccoli. Esattamente come richiesto da questo problema, solo che nella realtà non ci sarà il libro o il professore a suggerirci quel 48. In questo caso la tecnica usata da @melia funzionerà ancora, mentre il principio di induzione ci lascerà al palo.
Con questo naturalmente non voglio assolutamente sminuire né l'intervento correttissimo di mathmum né tantomeno il principio di induzione (!) - sarei un pazzo a fare una cosa del genere!
Queste sono solo delle riflessioni, un po' in libertà.
Il fatto è che questi risultati dimostrati per induzione lasciano talvolta la sensazione di essere stati "calati dall'alto": ragionando come mathmum, arriviamo sì a dimostrare l'asserto ma è perché sapevamo già dove volevamo arrivare. Infatti la traccia ci diceva: dimostrare che il numero tot è divisibile per 48.
Ma "nella realtà" non c'è una traccia che ci dice cosa cercare. Davanti ad un numero come $7^{2n}-1$, la prima cosa che vorremo fare è trovarne qualche divisore, per scomporlo in fattori più piccoli. Esattamente come richiesto da questo problema, solo che nella realtà non ci sarà il libro o il professore a suggerirci quel 48. In questo caso la tecnica usata da @melia funzionerà ancora, mentre il principio di induzione ci lascerà al palo.
Con questo naturalmente non voglio assolutamente sminuire né l'intervento correttissimo di mathmum né tantomeno il principio di induzione (!) - sarei un pazzo a fare una cosa del genere!
Queste sono solo delle riflessioni, un po' in libertà.
Sì, questo è vero. Io ho sempre usato il principio di induzione per dimostrare quello a cui arrivavo per intuito e che non riuscivo a dimostrare diversamente. E non direi che la dimostrazione per induzione è più elegante.
Una domanda he non c'entra con le dimostrazioni, tutti coloro che mi hanno risposto sono laureati in matematica?
Io sì.
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