Dim. che reciproco somma mai è somma dei reciproci

[bobus1]

Ciao,
sull'Analisi Zero di De Marco chiede di dimostrare che
non esiste una coppia \(\displaystyle a, b \) di numeri reali \(\displaystyle \ne 0 \) tali che
\(\displaystyle \frac{ 1 }{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \).

Di seguito c'è la dimostrazione che ho trovato, secondo voi è corretta o c'è qualcosa di sbagliato? Esiste una dimostrazione più breve o semplice?

Dim.: Per assurdo assumo che esista una coppia \(\displaystyle a,b \) di reali \(\displaystyle \ne 0 \) tali che
\(\displaystyle \frac{ 1 }{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \).

Sommando i termini nel membro di destra si ha che
\(\displaystyle \frac{ 1 }{a+b} = \frac{a+b}{ab} \)

Ora moltiplico per \(\displaystyle (a+b)ab \) e ottengo
\(\displaystyle ab = (a+b)^2 \)

Siccome \(\displaystyle (a+b) \ne 0 \), allora \(\displaystyle (a+b)^2 > 0 \). Quindi \(\displaystyle ab > 0 \).

Svolgendo il quadrato e portando tutto da una parte ottengo

\(\displaystyle a^2 + ab + b^2 = 0 \)

ma questo è assurdo perchè la somma di tre numeri positivi non può mai essere zero. Allora non può esistere una coppia \(\displaystyle a,b \) di numeri reali \(\displaystyle \ne 0 \) tali che \(\displaystyle \frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \).

[Bremen000]

Per essere corretta è corretta! In quanto alla possibilità di una dimostrazione più breve non saprei...questa mi pare perfetta ma non garantisco non possa esistere una via più veloce!