Differenza massimo e sup

[lepre561]

stavo studiando un po gli insiemi quando mi sono imbattuto in queste due definizioni chi mi sembrano abbastanza simili e non riesco a coglierne la differenza.

ovvero il massimo è maggiore o uguale ad ogni altro elemento dell'insieme...mentre il sup è il minimo dei maggioranti.

ma se io prendessi un intervallo $(3,27)$

27 non è sia massimo che sup?

in cosa differiscono?

[Indrjo Dedej]

Attent*.

Un numero $m \in \mathbb R$ è massimo di un insieme $X \subseteq \mathbb R$ se e solo se $m \in X$ e $m$ è maggiorante di $X$.

Nel tuo esempio $27 \notin (3,27)$. Quindi...

[lepre561]

non è massimo?

[Indrjo Dedej]

27 non è massimo. Cosa puoi dire di 3?

[lepre561]

non è minimo ma quindi l'unica differenza tra sup e massimo e che il massimo per essere sup deve appartenere all'insieme?

[Indrjo Dedej]

Semmai un maggiorante per essere massimo deve appartenere all'insieme. L'estremo superiore può appartenere o non appartenere e per essere massimo di un insieme deve stare in quell'insieme.

Esercizio. Dimostrare (o quantomeno tentare qualche ragionamento, anche a parole proprie) che i massimi sono estremi superiori. Vale il viceversa (gli estremi superiori sono massimi)?

Altro esercizio. Dire i ruoli di -1, 2, 3 e 4 nell'insieme $(-1,0)\cup[2,3]$.

[lepre561]

io lo so per enunciato che il massimo è sempre un estremo superiore in quanto sarebbe caratterizzato dall'insieme $(a,b]$ mentre l'estremo superiore puo anche non essere massimo

[Indrjo Dedej]

in quanto sarebbe caratterizzato dall'insieme $(a,b]$.

Non l'ho capita. Il resto ok.