Diagonalizzazione di matrici

[kimy]

Ciao a tutti, qualcuno mi puo' spiegare con un esempio (per esempio una matrice 3x3), come si dimostra se una matrice e' diagonalizzabile, quindi come si trovano gli autovalori, base di un autospazio....

grazie

[ciampax]

MMMM.... allora, la domanda che fai non è proprio semplice semplice, nel senso che c'è un bel po' da dire. Ti scrivo in linea generale quali sono i passaggi di base da effettuare in un tipico esercizio che richieda la ricerca di autovalori, autovettori, autospazi e diagonalizzazione, ok? Dopodiché, ne possiamo parlare usando qualche esercizio oppure approfondire a seconda delle domande che ti verranno in mente.

Dunque, consideriamo una matrice

[math]A\in M_n(\mathbb{K})[/math]

quadrata di ordine

[math]n[/math]

a coefficienti nel campo

[math]\mathbb{K}[/math]

(che di solito coincide con

[math]\mathbb{R}[/math]

o

[math]\mathbb{C}[/math]

). Come ben ricorderai, se un vettore

[math]\mathbf{v}\in\mathbb{K}^n[/math]

ha la proprietà che

[math]A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v},\qquad[/math]

per qualche

[math]\lambda\in\mathbb{K}[/math]

diciamo che

[math]\mathbf{v}[/math]

è un autovettore della matrice

[math]A[/math]

relativo all'autovalore

[math]\lambda[/math]

Il metodo pratico per calcolare quali siano gli autovalori della matrice consiste nel risolvere la seguente equazione (di grado n) in

[math]\lambda[/math]

[math]\det(A-\lambda I_n)=0[/math]

dove

[math]I_n[/math]

rappresenta la matrice identica (quella che ha solo 1 sulla diagonale principale e 0 in ogni altra componente).

Indichiamo ora con

[math]\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}[/math]

le soluzioni (distinte) nel campo

[math]\mathbf{K}[/math]

dell'equazione precedente (ovviamente in generale

[math]r\leq n[/math]

in quanto potresti avere radici dell'equazione che si ripetono, come ad esempio in

[math]\lambda^2(\lambda+1)=0[/math]

dove la radice

[math]\lambda=0[/math]

si presenta 2 volte o, come si dice, ha molteplicità algebrica 2). Indichiamo poi con

[math]m_i[/math]

la molteplicità algebrica di ogni radice distinta

[math]\lambda_i[/math]

.

A questo punto, bisogna determinare gli autospazi. Per fare ciò è necessario risolvere gli

[math]r[/math]

sistemi seguenti

[math]AX=\lambda_i X,\qquad i=1,\ldots,r[/math]

dove

[math]X=(X_1,\ldots,X_n)^t[/math]

è il vettore delle incognite del sistema. La soluzione di ogni sistema permette di determinare uno spazio vettoriale (lo spazio soluzione del sistema) che rappresenta l'autospazio relativo all'autovalore

[math]\lambda_i[/math]

in questione. Poniamo allora

[math]V_i=\textrm{Aut}(\lambda_i),\qquad a_i=\dim_{\mathbf{K}} V_i[/math]

dove

[math]V_i[/math]

è l'autopazio ed

[math]a_i[/math]

la sua dimensione, che viene detta molteplicità geometrica di

[math]\lambda_i[/math]

. A questo punto puoi utilizzare il seguente risultato al fine di diagonalizzare la matrice A.

Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice

[math]A\in M_n(\mathbf{K})[/math]

sia diagonalizzabile è che, per ogni autovalore

[math]\lambda_i[/math]

si abbia

[math]m_i=a_i[/math]

, con

[math]i=1,\ldots,r[/math]

In tal caso, la matrice diagonale

[math]\tilde{A}[/math]

simile alla matrice

[math]A[/math]

presenta sulla diagonale principale gli autovalori

[math]\lambda_i[/math]

ripetuto ognuno per

[math]m_i[/math]

volte.

Fammi sapere.

[kimy]

prendo questo esempio del libro:

Parto da una matrice A =

[math]
\begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\
3 & -5 &
3 \\
6 & -6 & 4 \end{bmatrix}[/math]

[math]\Lambda (t) = |tI - A| =

\begin{bmatrix} t-1 & 3 & -3 \\
-3 & t+5 & -3 \\
-6 & 6 & t-4 \end
{bmatrix} [/math]

ho provato a calcolarmelo però mi da una cosa un po lunghetta

[math] (t-1)(t+5)(t-4) + 108 - 18(t+5) + 18(t-1) + 9(t-4) [/math]

sbaglio qualcosa?

al libro da

[math] (t+2)^2(t-4) [/math]

[ciampax]

Hai fatto bene, ma poi devi risolvere l'equazione

[math] (t-1)(t+5)(t-4) + 108 - 18(t+5) + 18(t-1) + 9(t-4)=0 [/math]

e trovare che essa si riduce a quello che hai scritto alla fine!

[kimy]

quindi ho ottenuto:

[math]t^3-12t-16=(t+2)(t^2-2t[/math]

- 8 )

[math]=(t+2)(t+2)(t-4)=(t+2)^2(t-4)[/math]

adesso come dovrei procedere?

[ciampax]

Adesso le soluzioni dell'equazione

[math](t+2)^2 (t-4)=0[/math]

sono

[math]t=-2\quad (m=2),\qquad\qquad t=4\quad (m=1)[/math]

(tra parentesi ho indicato le molteplicità algebriche.) Ora devi risolvere i due sistemi

[math]AX=-2X\qquad AX=4X[/math]

dove

[math]X=(x,y,z)^t[/math]

è il vettore delle incognite. Fatto questo ottieni i due autospazi relativi a -2 e 4 e, l'unica cosa che ti resta da fare, è verificare che le dimensioni degli autospazi siano, rispettivamente, 2 e 1. Se accade questo la matrice è diagonalizzabile.

[kimy]

ok grazie mille ciampax mi è chiaro

[ciampax]

Bene, per qualsiasi altra cosa fammi sapere.