Determinazione delle coordinate di una corda su una ellisse
Sono alle prese con un problema apparentemente semplice che non sono riuscito a risolvere. Si tratta di determinare le coordinate su una ellisse di una corda di lunghezza prefissata.
Il problema si risolve facilmente se uno dei punti della corda ha ordinata $0$. Infatti mettendo a sistema l'equazione dell'ellisse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ con l'equazione della distanza tra due punti $(x-x1)^2+(y-y1)^2=d^2$ ed estraendo $y^2$ dalla seconda equazione per inserirla nella prima, si ottiene una equazione di secondo grado nella x facilmnete risolvibile.
Se invece l'ordinata di uno dei due punti non è nulla, nella equazione della distanza tra i due punti compare oltre a $y^2$ anche il doppio prodotto $y*y1$ che rende problematica, almeno per me, la soluzione.
Chiedo un vostro commento. Grazie
[mod="Steven"]Aggiunti i simboli del dollaro per migliorare le formule.[/mod]
Il problema si risolve facilmente se uno dei punti della corda ha ordinata $0$. Infatti mettendo a sistema l'equazione dell'ellisse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ con l'equazione della distanza tra due punti $(x-x1)^2+(y-y1)^2=d^2$ ed estraendo $y^2$ dalla seconda equazione per inserirla nella prima, si ottiene una equazione di secondo grado nella x facilmnete risolvibile.
Se invece l'ordinata di uno dei due punti non è nulla, nella equazione della distanza tra i due punti compare oltre a $y^2$ anche il doppio prodotto $y*y1$ che rende problematica, almeno per me, la soluzione.
Chiedo un vostro commento. Grazie
[mod="Steven"]Aggiunti i simboli del dollaro per migliorare le formule.[/mod]
Risposte
Ciao,
mi sono permesso di aggiungere i simboli \$ all'inizio e alla fine di ogni formula, in questo modo come vedi appaiono scritte in blu per bene.
Il modo di scrivere le formule (simboli, parentesi adeguate) era tutto giusto e non ho resistito a completare l'opera
Comunque, venendo al problema, ad occhio e croce direi che se non fissi almeno 1 dei due punti, allora le tue corde sono infinite.
Se invece tu decidi già un punto, allora si tratta di un sistema da risolvere, come nel caso del punto a ordinata nulla.
Quindi fammi capire: tu un estremo lo fissi, e devi trovare l'altro?
$x_1$ è noto?
Ciao!
mi sono permesso di aggiungere i simboli \$ all'inizio e alla fine di ogni formula, in questo modo come vedi appaiono scritte in blu per bene.
Il modo di scrivere le formule (simboli, parentesi adeguate) era tutto giusto e non ho resistito a completare l'opera
Comunque, venendo al problema, ad occhio e croce direi che se non fissi almeno 1 dei due punti, allora le tue corde sono infinite.
Se invece tu decidi già un punto, allora si tratta di un sistema da risolvere, come nel caso del punto a ordinata nulla.
Quindi fammi capire: tu un estremo lo fissi, e devi trovare l'altro?
$x_1$ è noto?
Ciao!
Caro Steven ti ringrazio per l'interessamento al mio problema.
Forse sono stato poco chiaro nell'esposizione. Io fisso le coordinate di uno dei due punti della corda partendo ad esempio dall'estremo dell'asse orizzontale (x1=a e y1=0); quindi stabilisco la lunghezza della corda pari a d. Scrivo il sistema lunghezza della corda ed equazione dell'ellisse ottengo una equazione di secondo grado nella x, la risolvo e determino l'ascissa del punto in cui si incontrano ellisse e corda.Inserisco il valore trovato nell'equazione dell'ellisse ed ottengo anche l'ordinata del punto di incontro.
A questo punto se voglio ripetere l'operazione partendo dal punto trovato per determinare il nuovo punto di incontro tra la corda di lunghezza nota e l'ellisse la soluzione del sistema si complica perchè compare il doppio prodotto 2*y*y2 che comporta l'immissione del radicale +/-a/b*radq(b^2-x^2) che non riesco a razionalizzare.
Come fare?
Forse sono stato poco chiaro nell'esposizione. Io fisso le coordinate di uno dei due punti della corda partendo ad esempio dall'estremo dell'asse orizzontale (x1=a e y1=0); quindi stabilisco la lunghezza della corda pari a d. Scrivo il sistema lunghezza della corda ed equazione dell'ellisse ottengo una equazione di secondo grado nella x, la risolvo e determino l'ascissa del punto in cui si incontrano ellisse e corda.Inserisco il valore trovato nell'equazione dell'ellisse ed ottengo anche l'ordinata del punto di incontro.
A questo punto se voglio ripetere l'operazione partendo dal punto trovato per determinare il nuovo punto di incontro tra la corda di lunghezza nota e l'ellisse la soluzione del sistema si complica perchè compare il doppio prodotto 2*y*y2 che comporta l'immissione del radicale +/-a/b*radq(b^2-x^2) che non riesco a razionalizzare.
Come fare?
Perché vuoi trovare di novo un punto di intersezione?
Fissato $A equiv (x_A, y_A)$, l'equazione del fascio per $A$ è $y-y_A = (x - x_A)m$ con $m$ incognita. Messa a sistema l'equazione del fascio con quella dell'ellisse, si ottengono le coordinate del punto intersezione con l'ellisse in funzione di $m$. Determinata la distanza tra $A$ e il punto appena trovato, si pone questa distanza (funzione di $m$) uguale alla lunghezza della corda prefissata.
Fissato $A equiv (x_A, y_A)$, l'equazione del fascio per $A$ è $y-y_A = (x - x_A)m$ con $m$ incognita. Messa a sistema l'equazione del fascio con quella dell'ellisse, si ottengono le coordinate del punto intersezione con l'ellisse in funzione di $m$. Determinata la distanza tra $A$ e il punto appena trovato, si pone questa distanza (funzione di $m$) uguale alla lunghezza della corda prefissata.
Il procedimento che mi suggerisci (sistema tra l'equazione del fascio di rette passante per un punto e l'equazione dell'ellisse) viene applicato, a quanto mi risulta, nel caso si voglia determinare il punto di tangenza tra la retta passante per un punto e la curva. In questo caso si pone = a 0 il discriminante della equazione risolvente.
Nel mio caso ( determinazione del punto di incontro della corda di cui è nota la lunghezza ed uno dei due punti di incontro con la ellisse) il suddetto sistema è impraticabile (porta ad una relazione complessa tra la x e il coefficiente angolare della retta).
A rigor di logica il mio problema si risolve mettendo a sistema l'equazione della curva con l'equazione della distanza tra due punti e cioè:
$radq((x-xA)^2+(y-yA)^2)=D$
$ y=+-b/a*radq(a^2-x^2)$
La soluzione è abbastanza semplice se il punto di partenza ha ordinata = 0. Diventa oltremodo complicata se l'ordinata è diversa da 0.
Nel mio caso ( determinazione del punto di incontro della corda di cui è nota la lunghezza ed uno dei due punti di incontro con la ellisse) il suddetto sistema è impraticabile (porta ad una relazione complessa tra la x e il coefficiente angolare della retta).
A rigor di logica il mio problema si risolve mettendo a sistema l'equazione della curva con l'equazione della distanza tra due punti e cioè:
$radq((x-xA)^2+(y-yA)^2)=D$
$ y=+-b/a*radq(a^2-x^2)$
La soluzione è abbastanza semplice se il punto di partenza ha ordinata = 0. Diventa oltremodo complicata se l'ordinata è diversa da 0.
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