Determinare se un pto è interno o esterno a una parabola

[Aleph_con_0]

Mi chiedevo se esiste un modo rapido (così come avviene per la circonferenza) per determinare se un punto P(x0,y0) sia interno o esterno a una parabola.

Da qualche parte ho letto (ma solo con esempi pratici e quindi senza una dimostrazione) che se sostituisco le coordinate all'eq.ne associata $ y=ax^2+bx+c $

y>0 implica P interno
y<0 implica P esterno

ossia il contrario che per la circonferenza. E' vero sempre?

Oppure devo calcolare la distanza (d1) di P dalla direttrice e confrontarlo con quella di P dal fuoco (d2) e dire che
d2 d2>d1 implica P esterno?

Grazie

[teorema55]

Non mi è chiaro il procedimento. Se sostituisci le coordinate di un punto nell'equazione della parabola saprai se il punto appartiene alla curva (l'equazione diventerà una identità) oppure no (l'equazione diventerà una diseguaglianza).
In battuta, mi vengono in mente diversi metodi diciamo...............empirici.
Per esempio:
data la parabola ad asse verticale
$y=ax^2+bx+c$
ed il punto
$P(x_0,y_0)$
per questo punto passerà la retta orizzontale
$y=y_0$
Metti questa a sistema con l'equazione della parabola: otterrai 2 soluzioni
$x_1$ e $ x_2$
se la retta è secante la parabola.
Se l'ascissa del punto P è
$x_1 allora il punto sarà interno alla parabola.
Viceversa, se
$x_0x_2$
allora il punto sarà esterno.
Banale ricordare che se la retta è tangente o esterna alla parabola, il punto P sarà sempre esterno......salvo, nel primo caso, che P sia proprio il vertice della parabola, nel qual caso le apparterrà.
Ciao.

[Aleph_con_0]

Sì, certo, tutto questo va benissimo. Ma era appunto quel che volevo "evitare" e ragionare in modo più diretto.
Il modo più diretto possibile (come nel caso della circonferenza) sarebbe sostituire le coordinate del punto all'eq.ne della parabola.
Ovviamente, se ottengo un'identità, il pto appartiene alla parabola. Altrimenti? Se ne può (direttamente) dedurre qualcosa?
Come dicevo, qualcuno ha scritto che se il primo membro (la y) risulta maggiore del secondo (f(x)), il pto è sicuramente interno; altrimenti è esterno.
Ma non l'ha dimostrato per tutti i casi.
Per la circonferenza, invece, è proprio così: se ho un valore >0 quando sostituisco le coordinate in $ x^2+y^2+ax+by+c $ allora il pto è esterno; altrimenti interno se ottengo un valore <0.

[mgrau]

Se la parabola è rivolta in su ($a > 0$) allora se il valore di $y_0 > ax_0^2 + bx_0 + c$ allora il punto $x_0;y_0$ è sopra la parabola, cioè all'interno. Se invece è rivolta in giù ($a < 0$), allora, al contrario, deve essere $y_0 < ax_0^2 + bx_0 + c$

[Aleph_con_0]

grazie!