Determinare se funzione è continua e derivabile

[DagoC]

Buonasera...
La funzione è:

$f(x)={x^2log|x|-1,if x!=0),(0,if x=0)}$

Mostrare che la funzione è continua e che è derivabile in $RR$. Come si fa in generale a vedere che una funzione è derivabile in $RR$ ?

[giammaria2]

Poichè l'unico problema è x=0, deve esistere f '(0), e lo calcoli usando la definizione di derivata. Però, salvo miei errori, quando x tende a 0, f(x) tende a -1, quindi la funzione non è neanche continua.

[GPaolo1]

Il concetto di continuità di una funzione è semplice: una funzione è continua se il limite (destro e sinistro) della funzione in un certo punto x dell'intervallo di esistenza risulta uguale al valore che assume la funzione proprio in quel punto. In pratica si scrive: $lim_(x->a) f(x) = f(a)$ e questa scritta indica che la funzione è continua. Perché una funzione sia DERIVABILE occorre che sia continua in un intervallo, al più estremi esclusi. Esistono svariati esempi anche di funzioni continue non derivabili (Cauchy ha fatto alcuni esempi), ma sono argomenti complessi, roba da geni.

[@melia]

"GPaolo": Esistono svariati esempi anche di funzioni continue non derivabili (Cauchy ha fatto alcuni esempi), ma sono argomenti complessi, roba da geni.

Ma ce ne sono anche per i comuni mortali $f(x)=|x|$ in 0 è continua, ma non è derivabile, così pure $f(x)=root(3) (x^2)$

[Ale1521]

$f(x)=|x|$ non è derivabile nello $0$ perché la sua derivata è $\frac{|x|}{x}$ (cioè $\pm1$) che in $0$ non è definita
Infatti, per definizione (in $0$), $\lim_{x\to0} \frac{|x|-|0|}{x-0}.