Determinare massimi e minimi vincolati.
Con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si determini massimi e minimi della funzione $ z=y^3+4x^2y-4y $ soggetta al vincolo $ x^2+y^2=1 $
Io ho trovato, risolvendo il sistema: $\{(8xy+2 \lambda x=0),(3y^2+4x^2-4+2 \lambda y=0),(x^2+y^2-1=0):}$
come "candidati" massimi/minimi i punti $(0,1,0.5), (0,-1,-0.5), (1,0,0), (-1,0,0)$
Poi però il determinante dell'Hessiano orlato \( \overline{H} \) $= |(0,2x,2y),(2x,8y+2 \lambda,8x),(2y,8x,6y+2 \lambda)|$
Mi fa concludere che in $ (0,1,-3) $ c'è un minimo e che in $ (0,-1,3) $ c'è un massimo, però mi risulta zero per $ (1,0,0) $ e $ (-1,0,0) $.
C'è un modo, ammesso che non abbia sbagliato qualche passaggio, per classificare questi due punti?
Io ho trovato, risolvendo il sistema: $\{(8xy+2 \lambda x=0),(3y^2+4x^2-4+2 \lambda y=0),(x^2+y^2-1=0):}$
come "candidati" massimi/minimi i punti $(0,1,0.5), (0,-1,-0.5), (1,0,0), (-1,0,0)$
Poi però il determinante dell'Hessiano orlato \( \overline{H} \) $= |(0,2x,2y),(2x,8y+2 \lambda,8x),(2y,8x,6y+2 \lambda)|$
Mi fa concludere che in $ (0,1,-3) $ c'è un minimo e che in $ (0,-1,3) $ c'è un massimo, però mi risulta zero per $ (1,0,0) $ e $ (-1,0,0) $.
C'è un modo, ammesso che non abbia sbagliato qualche passaggio, per classificare questi due punti?
Risposte
Grazie mille per la risposta completa.
Per la determinazione dei massimi e minimi io avrei semplificato la ricerca come segue.
Intanto dal vincolo imposto risulta che tale ricerca va fatta con le limitazioni :
$-1<=x<=1,-1<=y<=1$
Ricavando ora $x^2=1-y^2$ dal vincolo e sostituendo nella funzione in oggetto si ha:
$f=y^3+4y(1-y^2)-4y=-3y^3$
Per le limitazioni di cui prima è ora facile stabilire che :
$max(f) = +3 $ per $y=-1$ (e quindi per $x=0$)
$min(f) =-3$ per $y=+1$ ( e quindi sempre per $x=0$)
Intanto dal vincolo imposto risulta che tale ricerca va fatta con le limitazioni :
$-1<=x<=1,-1<=y<=1$
Ricavando ora $x^2=1-y^2$ dal vincolo e sostituendo nella funzione in oggetto si ha:
$f=y^3+4y(1-y^2)-4y=-3y^3$
Per le limitazioni di cui prima è ora facile stabilire che :
$max(f) = +3 $ per $y=-1$ (e quindi per $x=0$)
$min(f) =-3$ per $y=+1$ ( e quindi sempre per $x=0$)
Se c'é una cosa che sopporto pochissimo sono gli esercizi con metodi risolutivi obbligatori... 
Limitano fortemente il raggio d'azione e l'inventiva di chi deve risolverli.
Detto senza intenti polemici, beninteso.
Complimenti a Tem per le belle immagini postate... e non solo!
Limitano fortemente il raggio d'azione e l'inventiva di chi deve risolverli.
Detto senza intenti polemici, beninteso.
Complimenti a Tem per le belle immagini postate... e non solo!
Ragazzi, questa è roba per le scuole elementari.................proponete qualcosa di più interessante la prossima volta, casomai in Analisi Superiore.
Scusate,
ma non vedo alcun nesso tra l'arcano discusso in questo post e i due argomenti linkati. In ogni caso no problem, evidentemente la scuola odierna ha programmi molto più avanzati rispetto a quella che ricordo io ( ho 61 anni )..............ciò può significare che, in questi ultimi quarant'anni, la materia cerebrale dei ragazzi si è evoluta enormemente.........o che qualche insegnante pretende un po' troppo. Non mi sembra che l'esercizio sia proprio alla portata di uno studente di Secondaria di II grado.
Buono studio comunque, e soprattutto buone vacanze.......
ma non vedo alcun nesso tra l'arcano discusso in questo post e i due argomenti linkati. In ogni caso no problem, evidentemente la scuola odierna ha programmi molto più avanzati rispetto a quella che ricordo io ( ho 61 anni )..............ciò può significare che, in questi ultimi quarant'anni, la materia cerebrale dei ragazzi si è evoluta enormemente.........o che qualche insegnante pretende un po' troppo. Non mi sembra che l'esercizio sia proprio alla portata di uno studente di Secondaria di II grado.
Buono studio comunque, e soprattutto buone vacanze.......
Ok, ne prendo umilmente atto.
Cordialmente.
Marco
Cordialmente.
Marco
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