Determinare le soluzioni di questa equazione
6x^3+23x^2-5x-4=0
Le eventuali radici razionali dell'equazione vanno ricercate tra le frazioni +/- p/q ,dove p è un divisore di a_0=-4 e q è un divisore di a_n=6 . Le possibili radici sono allora , +/- : $1; 1/2 ; 1/3 ; 2/3 ; 1/6 ; 4/3 ; 2 ; 4$ .Utilizzando il teorema di ruffini verifichiamo che 1/2 è soluzione dell'equazione.Scomponendo con la regola di ruffini,l'equazione è equivalente a $(2x-1)(3x^2+13x+4)=0$. Per la legge di annullamento del prodotto l'insieme delle soluzioni dell'equazione è l'unione delle soluzioni delle due equazioni $2x-1=0$ e$3x^2 + 13 x + 4=0$. Pertanto l'insieme delle soluzioni dell'equazione data è
1/2 ; -1/3 ; -4 .
Domande :
1) Con "utilizzando il teorema di Ruffini verifichiamo che 1/2 è soluzione dell'equazione" intende dire che 1/2 manda tutto il polinomio a 0 ?
2)" Scomponendo con la regola di Ruffini " .. allora , io sto vedendo che ci stanno 200 modi di risolvere le cose e con Ruffini ancora peggio ..
Io l'ho scomposto in $(6x^2-x-1)(x+4)$ e successivamente in $6(x-1/2)(x+1/3)(x+4)$ e i risultati tornano però sono stato fortunato a trovare -4 che mi mandasse a 0 il polinomio (divisore del termine noto) . Come ha fatto a scomporre quel polinomio in $(2x-1)(3x^2+13x+4)$=0 ?
3)La scomposizione con Ruffini è sempre fattibile ?
4)Se non lo è,c'è un modo per vedere subito se un polinomio è scomponibile con ruffini senza vedere se tutti i divisori del termine noto non mi mandano a 0 il polinomio ?
Le eventuali radici razionali dell'equazione vanno ricercate tra le frazioni +/- p/q ,dove p è un divisore di a_0=-4 e q è un divisore di a_n=6 . Le possibili radici sono allora , +/- : $1; 1/2 ; 1/3 ; 2/3 ; 1/6 ; 4/3 ; 2 ; 4$ .Utilizzando il teorema di ruffini verifichiamo che 1/2 è soluzione dell'equazione.Scomponendo con la regola di ruffini,l'equazione è equivalente a $(2x-1)(3x^2+13x+4)=0$. Per la legge di annullamento del prodotto l'insieme delle soluzioni dell'equazione è l'unione delle soluzioni delle due equazioni $2x-1=0$ e$3x^2 + 13 x + 4=0$. Pertanto l'insieme delle soluzioni dell'equazione data è
1/2 ; -1/3 ; -4 .
Domande :
1) Con "utilizzando il teorema di Ruffini verifichiamo che 1/2 è soluzione dell'equazione" intende dire che 1/2 manda tutto il polinomio a 0 ?
2)" Scomponendo con la regola di Ruffini " .. allora , io sto vedendo che ci stanno 200 modi di risolvere le cose e con Ruffini ancora peggio ..
Io l'ho scomposto in $(6x^2-x-1)(x+4)$ e successivamente in $6(x-1/2)(x+1/3)(x+4)$ e i risultati tornano però sono stato fortunato a trovare -4 che mi mandasse a 0 il polinomio (divisore del termine noto) . Come ha fatto a scomporre quel polinomio in $(2x-1)(3x^2+13x+4)$=0 ?
3)La scomposizione con Ruffini è sempre fattibile ?
4)Se non lo è,c'è un modo per vedere subito se un polinomio è scomponibile con ruffini senza vedere se tutti i divisori del termine noto non mi mandano a 0 il polinomio ?
Risposte
$6x^3 + 23x^2 - 5x - 4=(6x^2-x-1)(x+4)$
ma non è vero che
$(6x^2-x-1)(x+4)=(x-1/2)(x+1/3)(x+4)$;
caso mai
$(6x^2-x-1)(x+4)=6(x-1/2)(x+1/3)(x+4)$.
ma non è vero che
$(6x^2-x-1)(x+4)=(x-1/2)(x+1/3)(x+4)$;
caso mai
$(6x^2-x-1)(x+4)=6(x-1/2)(x+1/3)(x+4)$.
Ops , giusto ... comunque il risultato e il succo della questione è sempre quello 
Risposte ? XD
ps : corretto
Risposte ? XD
ps : corretto
"Umbreon93":
Risposte?
Eccole:
1. Sì esatto, infatti $$6\left(\frac{1}{2}\right)^{3} + 23\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{2}\right) - 4 = \frac{3}{4} + \frac{23}{4} - \frac{5}{2} - 4 = \frac{3+23-10-16}{4} = 0$$2. Tu hai appena verificato che $\frac{1}{2}$ annulla il polinomio, quindi questo è sicuramente divisibile per $(x-\frac{1}{2})$ e questa divisione la puoi fare con Ruffini. Procedendo come al solito trovi $$6x^3 + 23x^2 - 5x - 4 = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(6x^2 + 26x + 8\right)$$Per rendere le cose graficamente più belle possiamo raccogliere un $2$ dalla seconda parentesi e 'regalarlo' alla prima ottenendo $$(2x-1)(3x^2 + 13x + 4)$$Adesso possiamo notare che il polinomio nella seconda parentesi si annulla per $-4$ quindi sarà divisibile per $(x+4)$. Procediamo ancora con Ruffini e otteniamo \begin{gather*}
(3x^2 + 13x + 4)=(x+4)(3x+1) \qquad \mbox{ quindi} \\
6x^3 + 23x^2 - 5x - 4 = (2x - 1)(x + 4)(3x + 1)
\end{gather*}che si annulla per $x = \frac{1}{2} \vee x=-4 \vee x = -\frac{1}{3}$ come previsto.
3. Direi di sì, basta trovare il termine che annulla. La gente di solito 'odia' Ruffini perchè non trova mai il numero che annulla il polinomio o comunque deve fare molti tentativi ma una volta trovato questo è molto semplice applicarlo e abbassare di grado il polinomio. Nell'esempio precedente ho voluto fare Ruffini due volte ma non era necessario. Dopo la prima volta avevo un polinomio di primo grado moltiplicato per uno di secondo grado e non era necessario abbassarlo ulteriormente dato che per le equazioni di secondo grado esiste la famosa formula $$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
4. Che io sappia no. Diciamo che se un polinomio è scomponibile allora si annullerà per qualche valore: il più è trovarli! Una volta trovato almeno uno di questi valori si procede in modo meccanico.
Grazie mille per le risposte!
1)Il libro da degli esercizi intitolati : " equazioni del tipo P(x) =0 il cui polinomio P(x) è scomponibile .
Se tutti i polinomi sono scomponibili perchè dare un titolo del genere ?
2)C'è anche un procedimento a sè per risolvere equazioni di 3° e 4° grado .. viene introdotto ruffini perchè a volte conviene farlo con esso e a volte con i procedimenti specifici ?
3)$x^3-8x$ <-- ti mostro come ho operato su questo esercizio (lascia stare che posso raccogliere la x a fattor comune) :
I divisori di $p/q$ sono $+- 1/1 e +-0/1 $
ossia
0 e $+- 1$ .
Li provo uno per uno .Si parte dal più piccolo . 0 annulla il polinomio quindi mi fermo qui .
Uso ruffini e scompongo in $(x^2-8)(x-0)$
ossia $x\!=\0$ e $x\!=\ +- 2*sqrt(2)$ .Tutto giusto ?
4)Hai detto che tutti i polinomi sono scomponibili per almeno una frazione $+- p/q$ dove p è un divisore del termine noto e q è un divisore del coefficiente della x con il grado più alto però verifico che non è così .Mi sono inventato un'equazione
17x^3+14x^2+2 = 0
Trovo tutti i p/q = $+- 1 , +-2 , +- 1/7 , +- 2/17$ <-- nessuno di essi annulla il polinomio .Mi blocco così XD
5)Appurato che non tutti i polinomi sono scomponibili , come faccio a riconoscerli senza dover andare a fare tutte queste prove ? Quando sto facendo il compito non ho tutto il tempo di farlo per poi accorgermi che nessuno dei candidati $+- p/q$ annulla il polinomio!
Grazie
1)Il libro da degli esercizi intitolati : " equazioni del tipo P(x) =0 il cui polinomio P(x) è scomponibile .
Se tutti i polinomi sono scomponibili perchè dare un titolo del genere ?
2)C'è anche un procedimento a sè per risolvere equazioni di 3° e 4° grado .. viene introdotto ruffini perchè a volte conviene farlo con esso e a volte con i procedimenti specifici ?
3)$x^3-8x$ <-- ti mostro come ho operato su questo esercizio (lascia stare che posso raccogliere la x a fattor comune) :
I divisori di $p/q$ sono $+- 1/1 e +-0/1 $
ossia
0 e $+- 1$ .
Li provo uno per uno .Si parte dal più piccolo . 0 annulla il polinomio quindi mi fermo qui .
Uso ruffini e scompongo in $(x^2-8)(x-0)$
ossia $x\!=\0$ e $x\!=\ +- 2*sqrt(2)$ .Tutto giusto ?
4)Hai detto che tutti i polinomi sono scomponibili per almeno una frazione $+- p/q$ dove p è un divisore del termine noto e q è un divisore del coefficiente della x con il grado più alto però verifico che non è così .Mi sono inventato un'equazione
17x^3+14x^2+2 = 0
Trovo tutti i p/q = $+- 1 , +-2 , +- 1/7 , +- 2/17$ <-- nessuno di essi annulla il polinomio .Mi blocco così XD
5)Appurato che non tutti i polinomi sono scomponibili , come faccio a riconoscerli senza dover andare a fare tutte queste prove ? Quando sto facendo il compito non ho tutto il tempo di farlo per poi accorgermi che nessuno dei candidati $+- p/q$ annulla il polinomio!
Grazie
1. Infatti io non ho detto che tutti i polinomi sono scomponibili. Ho detto "SE un polinomio è scomponibile..."
Un metodo per verificare se un trinomio è scomponibile è analizzare il suo $\Delta$. Se questo è minore di zero il trinomio non è scomponibile (nell'insieme $\mathbb{R}$ ovviamente). Ad esempio $x^2 + x + 1$ non ha scomposizioni.
2. Per le equazioni di 3° grado esistono le formule di Cardano, se non sbaglio. Forse esiste anche qualcosa per quelle di 4° grado ma sono comunque molto complesse mentre con Ruffini abbassi il grado e sei a posto.
3. Giusto ma se è un'equazione al posto del segno $\ne$ ci va $=$
4. Penso che la cosa valga solo fino al secondo grado, ma di questo non sono sicuro. Comunque l'unica soluzione reale di quell'equazione è $x = -0.9530525547$ mentre le altre due sono complesse (nel senso che appartengono a $\mathbb{C}$)
5. Vedi (1) con analisi del $\Delta$
Un metodo per verificare se un trinomio è scomponibile è analizzare il suo $\Delta$. Se questo è minore di zero il trinomio non è scomponibile (nell'insieme $\mathbb{R}$ ovviamente). Ad esempio $x^2 + x + 1$ non ha scomposizioni.
2. Per le equazioni di 3° grado esistono le formule di Cardano, se non sbaglio. Forse esiste anche qualcosa per quelle di 4° grado ma sono comunque molto complesse mentre con Ruffini abbassi il grado e sei a posto.
3. Giusto ma se è un'equazione al posto del segno $\ne$ ci va $=$
4. Penso che la cosa valga solo fino al secondo grado, ma di questo non sono sicuro. Comunque l'unica soluzione reale di quell'equazione è $x = -0.9530525547$ mentre le altre due sono complesse (nel senso che appartengono a $\mathbb{C}$)
5. Vedi (1) con analisi del $\Delta$
Per la 3 hai ragione , scusa !
Il fatto è che rimango turbato da questo metodo
Gli esercizi li ho risolti tutti tranne questo : $x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3=0$
Ho controllato le radici possibili di quel polinomio : $+- 3 , +-1$
1 è radice e quindi
ho scomposto con ruffini e ho ottenuto $(x^4-2x^2-3)(x-1)=0$
Ho provato di nuovo con ruffini e quindi a controllare le radici possibili di quel polinomio che sono nuovamente : $+- 3 , +-1$
ma stavolta non ho ottenuto nessun risultato (nessuno di quei numeri annulla il polinomio) .A questo punto
so che una delle soluzioni è x=1 ma poi non so andare avanti ! $(x^4-2x^2-3)$ la posso risolvere in qualche altro modo grazie a questi metodi di qui stiamo parlando ? Il libro pone questi esercizi prima della spiegazione delle equazioni di 2° grado quindi questo esercizio ,almeno a mio avviso , dovrebbe essere risolvibile tramite ruffini etc.. !
PS : grazie , sono un rompiballe
Il fatto è che rimango turbato da questo metodo
Gli esercizi li ho risolti tutti tranne questo : $x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3=0$
Ho controllato le radici possibili di quel polinomio : $+- 3 , +-1$
1 è radice e quindi
ho scomposto con ruffini e ho ottenuto $(x^4-2x^2-3)(x-1)=0$
Ho provato di nuovo con ruffini e quindi a controllare le radici possibili di quel polinomio che sono nuovamente : $+- 3 , +-1$
ma stavolta non ho ottenuto nessun risultato (nessuno di quei numeri annulla il polinomio) .A questo punto
so che una delle soluzioni è x=1 ma poi non so andare avanti ! $(x^4-2x^2-3)$ la posso risolvere in qualche altro modo grazie a questi metodi di qui stiamo parlando ? Il libro pone questi esercizi prima della spiegazione delle equazioni di 2° grado quindi questo esercizio ,almeno a mio avviso , dovrebbe essere risolvibile tramite ruffini etc.. !
PS : grazie , sono un rompiballe
Sì hai ragione, questo è particolare ma si risolve facilmente con un cambio di variabile: pongo $x^2 = t$. Il polinomio diventa quindi$$
t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1) \qquad \Rightarrow \qquad x^4 - 2x^2 - 3 = (x^2-3)(x^2+1)
$$
t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1) \qquad \Rightarrow \qquad x^4 - 2x^2 - 3 = (x^2-3)(x^2+1)
$$
Ok,ok , entriamo in campi a me sconosciuti ..spero di vedere tutto entro stasera , grazie ancora 
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