Determinare le coordinate del punto P...

[sguerrini97]

Buonasera, sto tentando di risolvere il seguente esercizio ma senza venirne a capo:

Determinare le coordinate del punto P ∈ r in modo che tracciando per P la retta s il triangolo che le rette r e s formano con l’asse y abbia Area 21/2

$ r∶ y = -1/3 x+2 $
$ s∶ m_s = 2, P∈s $
$ A=21/2 $

Della retta s conosco soltanto il coefficiente angolare e non mi è chiaro come utilizzare il dato dell'area. Non cerco una soluzione ma un input sul come affrontare il problema, grazie.

[@melia]

Il punto P appartiene alla retta $r$, quindi ha coordinate $P(p, -1/3p+2)$, trova l'equazione della retta $s$ passante per P e di coefficiente angolare 2. Trova i punti $R$ e $S$ di intersezione delle rette $r$ e $s$ con l'asse y, calcola l'area del triangolo in funzione di $p$, mettila uguale a $21/2$ e trovi $p$.

[sguerrini97]

Ho scritto questo procedimento.. E' corretto?

[img]http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=1554[/img]

Successivamente sotto la radice ho sostituito $ y_p = -1/3x_p+2 $
Ma non arrivo ad una soluzione, non so se per un errore di calcolo o di procedimento.
$ 49/9 x_p^4+4/3 x_p^3=21^2 $

Grazie.

[anto_zoolander]

Edit: la metto sotto spoiler perché gira e rigira è quanto detto da melia. Quindi utilizzalo per confrontare

Ti propongo una soluzione immediata.
Una volta scritta l'equazione della retta passante per $p$ con coefficiente angolare $2$ si ha

$y=2(x-p)+2-1/3p$ ovvero $y=2x+2-7/3p$

ora sappiamo che la base del triangolo sarà sull'asse delle ordinate e sarà pari a $|q_1-q_2|$ poiché in effetti è la lunghezza del segmento compreso tra le ordinate all'origine delle due rette. L'altezza del triangolo sarà ovviamente $p$ poiché il punto ha coordinate $P(p,2-1/3p)$ ed equivale alla distanza dall'origine della proiezione di $P$ sull'ascissa. Allora l'area sarà

$A=1/2|2-(2-7/3p)|*p=7/6p^2$ che basta uguagliare con $7/6p^2=21/2$

[sguerrini97]

Grazie, il procedimento che ho postato prima aveva qualche errore di calcolo.

Sono ripartito e ho trovato le due possibili soluzioni subito

$ P_1 (9/7, 11/7) $
e
$ P_2 (-9/7, 17/7) $

Adesso cerco di correggere ciò che avevo scritto prima

[@melia]

Ricontrolla i calcoli, a me e ad antoo viene $x_p= +-3$

[sguerrini97]

Sì me ne sono appena accorto correggendo il vecchio procedimento
Ecco adesso dovrebbe andare tutto bene

[img]http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=1555[/img]

Grazie ancora

[@melia]

Il problema ammette 2 soluzioni, non è che ne devi scegliere una, le devi scrivere entrambe.

[sguerrini97]

Sì le ho scritte entrambe su carta. Il testo dice di trovare un punto P che soddisfa quelle condizioni ed in altri esercizi del genere ci siamo fermati dopo aver trovato una soluzione valida.