Determinare il centro di una composizione di rotazioni

[HowardRoark]

Come al solito, scusate se posto l'immagine ma data la natura dell'esercizio non saprei come fare altrimenti. Ho la figura in foto e devo capire che tipo di rotazioni sono state fatte per passare da $F$ a $F'$ e da $F'$ a $F''$. Poi, devo trovare la rotazione che mi fa passare da $F$ a $F''$. Dalla figura intuisco che la prima rotazione ha centro $(0;0)$ e angolo di $90°$; sempre per intuito, la seconda ha centro $(-3;0)$ e angolo di $180°$.
Ora, in una composizione di rotazioni, se i centri $C_1$ della prima e $C_2$ della seconda rotazione sono diversi, il centro della rotazione composta $C$ sarà diverso sia da $C_1$ che da $C_2$. Avendo già informazioni sulle rotazioni precedenti, si può determinare però questo centro?
L'angolo di rotazione invece dovrebbe essere $gamma = alpha + beta$, dove $alpha$ è l'angolo della prima rotazione e $beta$ quello della seconda, in questo caso quindi $gamma = 270°$ o equivalentemente $gamma = -90°$.

[Quinzio]

Questa e' una roto-traslazione:

$ ((x'),(y'),(1)) = ((cos \theta, -sin theta, x_0),(sin theta, cos theta, y_0),(0, 0, 1)) ((x),(y),(1))$

Il punto $(x,y)$ viene prima ruotato attorno all'origine di un angolo $\theta$ e poi traslato di $(x_0, y_0)$.

Le matrici di roto-traslazione si possono ovviamente comporre (moltiplicare).

Una rotazione attorno ad un centro arbitrario si ottiene in questo modo

$ ((x'),(y'),(1)) = ((cos \theta, -sin theta, x_C),(sin theta, cos theta, y_C),(0, 0, 1)) ((1, 0, -x_C),(0, 1, -y_C),(0, 0, 1)) ((x),(y),(1))$

In pratica quello che si fa e' traslare il centro di rotazione sull'origine (la prima matrice a destra), fare la rotazione, e traslare "indietro" il centro di rotazione dov'era all'inizio (la seconda matrice).

Adesso scriviamo la composizione di 2 rotazioni attorno a centri arbitrari e poi la mettiamo uguale ad una rotazione singola, attorno al centro che vogliamo trovare.


$
((cos \alpha, -sin alpha, x_{C1}),(sin alpha, cos alpha, y_{C1}),(0, 0, 1)) ((1, 0, -x_{C1}),(0, 1, -y_{C1}),(0, 0, 1))
((cos \beta, -sin beta, x_{C2}),(sin beta, cos beta, y_{C2}),(0, 0, 1)) ((1, 0, -x_{C2}),(0, 1, -y_{C2}),(0, 0, 1)) =

((cos (alpha+\beta), -sin (alpha+\beta), x_{C3}),(sin (alpha+\beta), cos (alpha+\beta), y_{C3}),(0, 0, 1)) ((1, 0, -x_{C3}),(0, 1, -y_{C3}),(0, 0, 1))
$

Sono noti $alpha$, $beta$, e i due centri $C_1$ e $C_2$.
Quello che vogliamo trovare e' $C_3$.

Esplicitando tutti i calcoli, ovvero facendo tutti i calcoli delle matrici, alla fine ci si ritrova con un sistema di 2 eq. e 2 incognite.
Per trovare il centro $C_3$ va risolto questo sistema.
I conti possono sembrare proibitivi, ma non credo che siano impossibili da fare anche a mano.

Nel tuo esempio, dopo aver fatto tutti i conti, viene che il centro di rotazione $C_3$ e' in $(-3, 3)$.

[Quinzio]

Invece se i dati di partenza sono un insieme di punti (ad esempio i vertici di una figura) e poi lo stesso insieme traslato e ruotato, quello che si puo' fare per trovare il centro di rotazione e' prendere due punti, ad es. $A$ e $B$ e i loro corrispettivi $A'$ e $B'$ e poi risolvere il sistema:

$ (y - (y_A + y_A')/2) = (x_A-x_A')/(y_A'-y_A) (x - (x_A + x_A')/2)$

$ (y - (y_B + y_B')/2) = (x_B-x_B')/(y_B'-y_B) (x - (x_B + x_B')/2)$

Quello che viene fatto qui e' prendere la perpendicolare che passa per il punto medio del segmento $A A'$ e metterla a sistema con quella del segmento $B B'$.
Le due perpendicolari si intersecano nel centro di rotazione.

[Noodles1]

"HowardRoark":
... si può determinare però questo centro?

Si tratta della costruzione sintetica sottostante:

Per esempio, $B$ è il centro della rotazione:

$B rarr B$

ottenuta componendo la prima rotazione di centro $C_1$ e angolo $\alpha$ in senso antiorario:

$B rarr A$

con la seconda rotazione di centro $C_2$ e angolo $\beta$ in senso antiorario:

$A rarr B$

[HowardRoark]

Vi ringrazio per le risposte, appena ho tempo le leggo e cerco di capirle, per quanto riesca!