Determinare eq. parabola conoscendo tangente

[Fabry01]

Ciao a tutti,

ci sono varie tipologie di esercizi che chiedono di determinare l'eq. della parabola passante per un punto e tangente ad una retta. Altre invece si conoscono il vertice e la retta tangente.

In questi casi come fare?

PS: parlo in maniera generica per cercare di usare lo stesso discorso su esercizi simili :)

Un esercizio analogo è questo.
Determinare l'eq. della parabola

[math]y=ax^2 +bx + c[/math]

avente vertice

[math]V (2;-2)[/math]

e tangente alla retta

[math]y=2x-7[/math]

Aggiunto 14 ore 55 minuti più tardi:

Forse converrebbe fare l'esempio sull'esercizio ;)

Aggiunto 9 ore 29 minuti più tardi:

Forse converebbe che accendessi il cervello e provassi a capire quello che ti viene spiegato, piuttosto che chiedere banalmente: "Mi fate i compiti?"... ma lasciamo stare, tanto alla fine voi studenti andreste presi e messi al rogo! :asd

Innanzitutto non ho chiesto nel post che mi si vengano fatto i compiti, tanto meno l'ho chiesto a te, che non sei tenuto a rispondere.
Poi personalmente non mi sembra così chiaro, quello che hai scritto, anzi più che chiaro direi che hai parlato in maniera piuttosto complessa, a livello di spiegazione IMHO.

Ma si, meglio lasciare stare, per quello che hai scritto...meglio lasciare stare va...che non voglio neanche perdere tempo, visto che cerco di capire un esercizio...

Aggiunto 14 ore 14 minuti più tardi:

@BIT5
Grazie
Proverò ad applicarla :)

[ciampax]

Il vertice, in generale, ha coordinate

[math]V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math]

dove

[math]\Delta =b^2-4ac[/math]

. Quando ti vengono date esplicitamente le coordinate del vertice, diciamo

[math]V(x_v,y_v)[/math]

(due numeri noti), basta scrivere le identità

[math]-b=2a x_v,\qquad -\Delta=4a y_v\qquad\qquad\qquad (1)[/math]

(ti ho scritto la cosa in generale, come volevi).

Per sfruttare la condizione di tangenza, invece, conviene sostituire il valore di y ottenuto dalla retta nell'equazione della parabola, scrivere l'equazione di secondo grado in x che ne viene fuori e imporre che il discriminante di tale equazione sia pari a zero: se la retta è

[math]y=mx+q[/math]

(con m e q valori noti) allora

[math]ax^2+(b-m)x+c-q=0[/math]

è l'equazione in x e la condizione che ti serve è

[math](b-m)^2-4a(c-q)=0\qquad\qquad\qquad (2)[/math]

Mettendo insieme le condizioni 1 e 2 avrai un sistema di 3 equazioni nelle incognite a,b,c che ti permetterà di determinare l'equazione della parabola.

Aggiunto 20 ore 26 minuti più tardi:

Forse converebbe che accendessi il cervello e provassi a capire quello che ti viene spiegato, piuttosto che chiedere banalmente: "Mi fate i compiti?"... ma lasciamo stare, tanto alla fine voi studenti andreste presi e messi al rogo! :asd

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Per "capire l'esercizio", come dici, dovresti capire il "metodo generale" come chiedevi (e che è quello che volevi, considerando il tuo primo intervento).

Mi chiedo: perché, invece di chiedere come fare ad usare quello che ti ho spiegato e provare DA SOLO ad applicarlo all'esercizio da te proposto hai continuato ad aspettare che qualcuno ti cucinasse la pappa? Questo è il tipico modo di procedere, per quanto mi riguarda, di uno studente che cerca di "arrancare" senza nessuna "voglia", solo per poter, alla fine, portarsi il contentino del voto a casa e rendere felice la famiglia.

Se quello che ti ho spiegato non lo hai capito, allora ti avviso che hai un problema: e cioè non sei in grado di generalizzare e leggere le formule (cosa fondamentale, in matematica). Dici che non sono tenuto a rispondere? Sbagli: io questo la faccio per mestiere e quindi sono tenuto a farlo: d'altro canto, tu sei tenuto a STUDIARE, CAPIRE e, se non ce la fai a CHIEDERE, piuttosto che passare per il "furbetto" di giornata.

E con questo chiudo la questione e ti avviso: rispondi (in qualsiasi modo) e vai a farti una gitarella di 3 giorni fuori da questo forum.

[BIT5]

Allora applichiamo quello che ha scritto ciampax sul tuo esercizio:

Prima condizione:

sapendo che

[math] x_V=- \frac{b}{2a} [/math]

sapendo che la x del vertice e' 2 dovra' essere

[math] 2=- \frac{b}{2a} \to 4a=-b \to b=-4a [/math]

Seconda condizione, analogamente

[math] -2 = - \frac{\Delta}{4a} \to \Delta = 8a \to b^2-4ac=8a [/math]

Sostituiamo al valore di b quanto trovato dalla prima equazione...

[math] (-4a)^2-4ac=8a \to 16a^2-4ac=8a \to 4ac=16a^2-8a \to \\ \\ \\ \to 4ac=4a(4a-2) \to c=4a-2 [/math]

Tutte le parabole di vertice (2,-2) saranno quindi della forma

[math] y=ax^2-4ax+4a-2 [/math]

Ora trovi i punti di intersezione tra tutte le parabole e la retta data.

[math] \{ y=2x-7 \\ y=ax^2-4ax+4a-2 [/math]

ovvero per confronto

[math] 2x-7=ax^2-4ax+4a-2 \to ax^2+(-4a-2)x+4a+5=0 [/math]

le soluzioni dell'equazione di secondo grado indicheranno le due ascisse dei punti di intersezione tra retta e parabole (dipendenti dal parametro a)

siccome vogliamo che i punti di intersezione siano due punti coincidenti, vogliamo che le due x siano coincidenti, e quindi che il delta della soluzione dell'equazione di secondo grado sia zero. Infatti quando risolvi un'equazione di secondo grado, se il delta e' zero, ottieni una sola soluzione (ovvero due soluzioni coincidenti) che sul piano cartesiano corrispondono a due punti di contatto coincidenti, ovvero retta tangente (che tocca la parabola in un solo punto)

quindi

[math] \Delta= (-4a-2)^2-4(a)(4a+5) = 0 [/math]

e dunque

[math] 16a^2+4+16a-16a^2-20a=0 \to 4a=4 \to a=1 [/math]

sostituiamo dunque il valore di a appena trovato al fascio ottenendo

[math] y=x^2-4ax-2 [/math]

Che e' la parabola cercata

(e di cui se calcoli il vertice trovi il vertice dato dall'esercizio e se calcoli i punti di intersezione con la retta, ricavi un punto solo (ovvero due coincidenti)

E' una prova per verificare il risultato :)

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Direi che su questo 3d ci sono sia la soluzione generale al problema, che nel dettaglio la soluzione dell'esercizio.

Se avete altre cose "extra" di cui parlare, esistono i messaggi privati.
Chiudo.