Determinanti di matrici: dimostrazioni proprietà

[Kevinvek]

Salve a tutti,
Sto studiando i determinanti delle matrici quadrate. Nel mio libro sono elencate diverse proprietà dei determinanti senza dimostrazione. Il mio professore vuole tutte le dimostrazioni. Chi ne ha qualcuna???

[piero_1]

"Kevinvek":Salve a tutti,
Sto studiando i determinanti delle matrici quadrate. Nel mio libro sono elencate diverse proprietà dei determinanti senza dimostrazione. Il mio professore vuole tutte le dimostrazioni. Chi ne ha qualcuna???

Di quali proprietà vuoi le dimostrazioni?
Comunque penso che tu possa trovarle sul tuo libro di testo...

[Kevinvek]

Sul mio libro non mette queste dimostrazioni... cmq sono tutte le proprietà dei determinanti tipo:
-se tutti gli elementi di una linea sono nulli, il determinante è zero
-moltiplicando tutti gli elementi di una linea per uno scalare k, il determinante della matrice viene moltiplicato per k.

[piero_1]

"Kevinvek":Sul mio libro non mette queste dimostrazioni... cmq sono tutte le proprietà dei determinanti tipo:
-se tutti gli elementi di una linea sono nulli, il determinante è zero

Infatti se si sviluppano i calcoli secondo la riga (o la colonna) in questione abbiamo, dalla def. di determinante:

$detA=sum_{k}(-1)^(i+k)*0*A_(ik)^#=0

[Kevinvek]

ok grazie... sapresti spiegarmelo? In particolare perchè c'è un #?

[piero_1]

In effetti di solito si usa * come apice, ma nella formula sarebbe stato così $*$. Mi sono arrangiato con $#$.
Il significato:
Il determinante di A è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna di A per i loro complementi algebrici.

[Kevinvek]

C'è anche quest'altra proprietà: se si scambiano tra loro due righe o due colonne di una matrice il determinante cambia segno. Come si può dimostrare?