Det
Ciao a tutti,
il problema? matrici!
sono arrivato al 3° ordine con applicazione del metodo di Sarrus per ottenere il determinante.
Per ordini superiori,bè, tempo al tempo. Laplace può aspettare.
Mi anticipereste a che serve il determinante? se possibile con un esempio piccolo.
Lo so calcolare ma non ho capito a che serve. Voi mi direte: whit compliment!! hihihi....
grazie
chip
il problema? matrici!
sono arrivato al 3° ordine con applicazione del metodo di Sarrus per ottenere il determinante.
Per ordini superiori,bè, tempo al tempo. Laplace può aspettare.
Mi anticipereste a che serve il determinante? se possibile con un esempio piccolo.
Lo so calcolare ma non ho capito a che serve. Voi mi direte: whit compliment!! hihihi....
grazie
chip
Risposte
Il calcolo matriciale trova numerose applicazione in fisica molecolare, fisica quantistica e chimica.
In più in matematica i determinanti servono per risolvere i sistemi lineari.
Ma immagino che ci saranno tante altre applicazioni anche in analisi...
In più in matematica i determinanti servono per risolvere i sistemi lineari.
Ma immagino che ci saranno tante altre applicazioni anche in analisi...
Per quanto riguarda strettamente l'algebra lineare o la geometria affine, il determinante è utilissimo per trovare il rango di una matrice, utilizzando anche il teorema degli orlati. Si rivela utile, insiame al teorema di Rouchè Capelli per la risoluzione dei sistemi lineari; insomma ti dà la possibilità di non usare sempre l'eliminazione di Gauss, che spesso è anche molto lunga e con molti calcoli. In effetti poi è indispensabile anche nelle applicazioni lineari...
Un esempio pratico dall'analisi? Per il cambiamento di variabile nell'integrale di una funzione in più variabili si usa un determinante (detto lo jacobiano). Quindi studia pure tranquillo, che ogni parte della matematica non è mai inutile, sia perchè serve per altri argomenti matematici, sia perchè serve per ulteriori temi non strettamente matematici... 
Provo anch'io, cercando un esempio più semplice.
Supponi di avere un sistema di equazioni lineari (di primo grado) con $n$ equazioni e $n$ incognite (magari con $n$ grande). Il primo passo per stabilire (almeno in teoria) se il problema è impossibile (non ha soluzione), indeterminato (ne ha infinite) o determinato (ne ha una sola) è quello di calcolare un po' di determinanti. In paricolare se la matrice $n$ per $n$ dei coefficenti delle incognite del sistema ha determinate non nullo il sistema è determinato.
Siccome in quasi tutti i campi dove si applica la matematica i sistemi lineari sono importanti, i determinanti ti perseguiteranno se vuoi continuare questo tipo di studi.
Pertanto esercitati con fiducia.
ciao
Supponi di avere un sistema di equazioni lineari (di primo grado) con $n$ equazioni e $n$ incognite (magari con $n$ grande). Il primo passo per stabilire (almeno in teoria) se il problema è impossibile (non ha soluzione), indeterminato (ne ha infinite) o determinato (ne ha una sola) è quello di calcolare un po' di determinanti. In paricolare se la matrice $n$ per $n$ dei coefficenti delle incognite del sistema ha determinate non nullo il sistema è determinato.
Siccome in quasi tutti i campi dove si applica la matematica i sistemi lineari sono importanti, i determinanti ti perseguiteranno se vuoi continuare questo tipo di studi.
Pertanto esercitati con fiducia.
ciao
Molto semplicemnte in fisica classica con il determinante si può calcolare il prodotto vettoriale in maniera molto semplice....
Si, infatti la formula classica del prodotto vettoriale in notazione per versori deriva dal calcolo del deteminante di una matrice a cui sono associati i due vettori.
Aggiungo ancora qualche considerazione sul determinante di una matrice quadrata .
Il determinante è una funzione che associa ad una matrice quadrata uno scalare, il quale tiene conto in maniera complessiva degli elementi sulle righe e sulle colonne della matrice.
Nonostante la grande perdita di informazione che si ha passando da una matrice ( che è una tabella con $n^2 $ elementi se n è l'ordine della matrice ) al suo determinante ( che è un solo numero ) ebbene questo scalare ha ancora delle proprietà interessanti.
Per esempio è in grado di dire se la matrice è invertibile oppure no .
Una matrice quadrata A è infatti invertibile se e solo se si ha : det A diverso da 0.
La matrice inversa è una matrice B tale che :
A*B = B*A = I ( essendo I la matrice identità che ha tutti 1 sulla diagonale principale e tutti 0 altrove ).
Ricordo che il determinante di una matrice A (2x2 )= $((a_11,a_12),(a_21,a_22))$ è dato da : $ a_11*a_22 -a_12*a_21 $ e la matrice è invertibile se e solo se il determinante è diverso da 0 .
Esempio
Sia A = $((1,2) , (3,4 ))$ ; det A = 4-6=-2 diverso da 0 e quindi la matrice è invertibile .
Si trova che l'inversa B è :$ ((-2,1),( 3/2,-1/2))$ .
Si verifica che A*B = B*A = I =$ ((1,0), (0,1)) $.
* Sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite :
$ a_11*x+a_12*y = b_1 $
$a_21*x+a_22*y = b_2 $ .
Il sistema ha un'unica soluzione se e solo se la matrice dei coefficienti $ (( a_11, a_12),( a_21, a_22)) $ ha determinante diverso da 0 .
Nel piano cartesiano il sistema di equazioni sopra indicato puo essere visto come l'equazione di 2 rette del piano ; è allora chiaro che il sistema avrà soluzione se le rette si incontrano cioè se non sono parallele .
Il paralleleismo delle 2 rette significa uguaglianza dei coefficienti angolari e quindi $ a_11/a_12 = a_21/a_22 $ il che appunto significa determinante della matrice dei coefficienti = 0 .
Il determinante è una funzione che associa ad una matrice quadrata uno scalare, il quale tiene conto in maniera complessiva degli elementi sulle righe e sulle colonne della matrice.
Nonostante la grande perdita di informazione che si ha passando da una matrice ( che è una tabella con $n^2 $ elementi se n è l'ordine della matrice ) al suo determinante ( che è un solo numero ) ebbene questo scalare ha ancora delle proprietà interessanti.
Per esempio è in grado di dire se la matrice è invertibile oppure no .
Una matrice quadrata A è infatti invertibile se e solo se si ha : det A diverso da 0.
La matrice inversa è una matrice B tale che :
A*B = B*A = I ( essendo I la matrice identità che ha tutti 1 sulla diagonale principale e tutti 0 altrove ).
Ricordo che il determinante di una matrice A (2x2 )= $((a_11,a_12),(a_21,a_22))$ è dato da : $ a_11*a_22 -a_12*a_21 $ e la matrice è invertibile se e solo se il determinante è diverso da 0 .
Esempio
Sia A = $((1,2) , (3,4 ))$ ; det A = 4-6=-2 diverso da 0 e quindi la matrice è invertibile .
Si trova che l'inversa B è :$ ((-2,1),( 3/2,-1/2))$ .
Si verifica che A*B = B*A = I =$ ((1,0), (0,1)) $.
* Sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite :
$ a_11*x+a_12*y = b_1 $
$a_21*x+a_22*y = b_2 $ .
Il sistema ha un'unica soluzione se e solo se la matrice dei coefficienti $ (( a_11, a_12),( a_21, a_22)) $ ha determinante diverso da 0 .
Nel piano cartesiano il sistema di equazioni sopra indicato puo essere visto come l'equazione di 2 rette del piano ; è allora chiaro che il sistema avrà soluzione se le rette si incontrano cioè se non sono parallele .
Il paralleleismo delle 2 rette significa uguaglianza dei coefficienti angolari e quindi $ a_11/a_12 = a_21/a_22 $ il che appunto significa determinante della matrice dei coefficienti = 0 .
Se consideriamo una equazione differenziale lineare allora la sua soluzione può essere scritta come combinazione lineare di funzioni che soddisfano l'equazione, allora si può usare una matrice, detta Wronskiana, per verificare se la soluzione è corretta, in particolare il determinante deve essere diverso da zero.
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