Derivate e Limiti, due esercizi carini
Due esercizi carini e semplici su limiti e derivate
i)
Sia $f(x)$ una funzione derivabile in $x_0$.
Calcolare
$lim_(hto0)\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$
ii)
Date le funzioni
$A_1(x)$, $A_2(x)$, $B_1(x)$, $B_2(x)$
sappiamo che esse sono infinitesime per $xtox_0$ (ovvero tendono a zero se $x$ tende a $x_0$) e inoltre che
$lim_(xtox_0) \frac{A_1(x)}{A_2(x)}=lim_(xtox_0) \frac{B_1(x)}{B_2(x)}=0$
Noto infine $L=lim_(xtox_0) \frac{A_2(x)}{B_2(x)}$, si calcoli
$lim_(xtox_0) \frac{A_2(x)+A_1(x)}{B_2(x)+B_1(x)}=0$
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Admin: Esercizi limiti
i)
Sia $f(x)$ una funzione derivabile in $x_0$.
Calcolare
$lim_(hto0)\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$
ii)
Date le funzioni
$A_1(x)$, $A_2(x)$, $B_1(x)$, $B_2(x)$
sappiamo che esse sono infinitesime per $xtox_0$ (ovvero tendono a zero se $x$ tende a $x_0$) e inoltre che
$lim_(xtox_0) \frac{A_1(x)}{A_2(x)}=lim_(xtox_0) \frac{B_1(x)}{B_2(x)}=0$
Noto infine $L=lim_(xtox_0) \frac{A_2(x)}{B_2(x)}$, si calcoli
$lim_(xtox_0) \frac{A_2(x)+A_1(x)}{B_2(x)+B_1(x)}=0$
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Admin: Esercizi limiti
Risposte
"Steven":
Due esercizi carini e semplici su limiti e derivate
i)
Sia $f(x)$ una funzione derivabile in $x_0$.
Calcolare
$lim_(hto0)\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$
ii)
Date le funzioni
$A_1(x)$, $A_2(x)$, $B_1(x)$, $B_2(x)$
sappiamo che esse sono infinitesime per $xtox_0$ (ovvero tendono a zero se $x$ tende a $x_0$) e inoltre che
$lim_(xtox_0) \frac{A_1(x)}{A_2(x)}=lim_(xtox_0) \frac{B_1(x)}{B_2(x)}=0$
Noto infine $L=lim_(xtox_0) \frac{A_2(x)}{B_2(x)}$, si calcoli
$lim_(xtox_0) \frac{A_2(x)+A_1(x)}{B_2(x)+B_1(x)}=0$
Il primo usando de l'hopital (altrimenti non avresti detto derivabile
) è 0Il secondo mettendo in evidenza a me viene
$lim_(xtox_0) \frac{A_2(x)+A_1(x)}{B_2(x)+B_1(x)}=lim_(x->x_0)((A_2(x))/(B_2(x))(1+(A_1(x))/(A_2(x)))/(1+(B_1(x))/(B_2(x))))=L=0$
Il primo sui limiti è ok, anche se volevo mantenere $L$ generico, ma ho sbagliato a digitare e probabilmente hai inteso che $L$ lo avessi posto uguale a zero.
Comunque il risultato è $L$
Il secondo (derivate) è errato.
Prova con una funzione semplice, tipo
$f(x)=x$ e vedrai che il tuo risultato è negato.
Ciao.
Comunque il risultato è $L$
Il secondo (derivate) è errato.
Prova con una funzione semplice, tipo
$f(x)=x$ e vedrai che il tuo risultato è negato.
Ciao.
"Steven":
Il primo sui limiti è ok, anche se volevo mantenere $L$ generico, ma ho sbagliato a digitare e probabilmente hai inteso che $L$ lo avessi posto uguale a zero.
Comunque il risultato è $L$
Il secondo (derivate) è errato.
Prova con una funzione semplice, tipo
$f(x)=x$ e vedrai che il tuo risultato è negato.
Ciao.
Hai ragionissima scusami XD che cacchio ho fatto (ho fatto de l'hopital con l'h xD, si vede che ho la febbre... xD)
Vedi se ora va bene:
Aggiungendo e sottraendo al numeratore $f(x_0)$
Avremo
$(f(x_0+h)-f(x_0))/h+(-f(x_0-h)+f(x_0))/h$
Il primo è ovviamente $f'(x_0)$
Il secondo anche XD
Quindi il limite è uguale a
$2f'(x_0)$
;D
Va bene.
Quello è il metodo analitico e rigoroso, poi c'è anche un'interpretazione grafica, che però è meno agevole nel forum
Ciao.
Quello è il metodo analitico e rigoroso, poi c'è anche un'interpretazione grafica, che però è meno agevole nel forum
Ciao.
"Steven":
Va bene.
Quello è il metodo analitico e rigoroso, poi c'è anche un'interpretazione grafica, che però è meno agevole nel forum
Ciao.
Non dovevi dirmi che esiste anche un'interpretazione grafica
Supponiamo questo sia il grafico:
Ora essendo il numeratore due volte delta y e il denominatore semplicemente delta x
avremo che il limite potrà scriversi come:
$lim_(h->0)(2(f(x_0+h)-f(x_0))/h)=2f'(x_0)$
cvd
Bene.
Non vorrei dire sciocchezze, ma penso comunque che sarebbe opportuno dire che quel ragionamento si fa considerando un intorno di $x_0$ ragionevolmente piccolo, in modo che il pezzettino di curva considerata si avvicini a un segmento.
Questo perché se non si fa questa precisazione, non possiamo dire che $f(x_0+h)-f(x_0-h)=2Deltay$, cioè non è vero che i due tratti
$f(x_0+h)-f(x_0)$ e $f(x_0)-f(x_0-h)$ sono uguali (succede nel caso la funzione sia une ratta).
Ma tutto sommato, considerando che nel limite si ha che $h->0$, dovrebbe essere implicito.
Ciao!
Non vorrei dire sciocchezze, ma penso comunque che sarebbe opportuno dire che quel ragionamento si fa considerando un intorno di $x_0$ ragionevolmente piccolo, in modo che il pezzettino di curva considerata si avvicini a un segmento.
Questo perché se non si fa questa precisazione, non possiamo dire che $f(x_0+h)-f(x_0-h)=2Deltay$, cioè non è vero che i due tratti
$f(x_0+h)-f(x_0)$ e $f(x_0)-f(x_0-h)$ sono uguali (succede nel caso la funzione sia une ratta).
Ma tutto sommato, considerando che nel limite si ha che $h->0$, dovrebbe essere implicito.
Ciao!
Sisi il tuo ragionamento è corretto basti pensare a una funzione esponenziale ad esempio e se fosse già un intorno molto grande non ci ritroveremmo più con il grafico:).
Ovviamente il disegno mio l'ho fo un po' più grande e variegato per facilitare la comprensione, perché per l'appunto come dicevi tu essendo $h->0$ era implicita la condizione
Ovviamente il disegno mio l'ho fo un po' più grande e variegato per facilitare la comprensione, perché per l'appunto come dicevi tu essendo $h->0$ era implicita la condizione
Infatti, anche io ho pensato al caso dell'esponenziale.
Perfetto allora, ciao!
Perfetto allora, ciao!
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